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Sección 3.1 Nociones Básicas

Definición 3.1.1

Sea \(A\) un conjunto no vacío.

Se dice que \(\mathcal{R}\) es una relación en \(A\) si y sólo si \(\mathcal{R}\subseteq A\times A\text{.}\)

Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y dado los siguientes conjuntos

\begin{equation*} \mathcal{R}_{1}=\{(a,a),(a,b),(b,c)\},\mathcal{R}_{2}=\{(a,a),(a,b),(b,d)\} \end{equation*}

Determinar si son relaciones en \(A\)

Solución:

El conjunto \(\mathcal{R}_{1}\) es una relación en \(A\text{,}\) ya que \(\mathcal{R}_{1}\) es un subconjunto de \(A\times A\text{,}\) debido a que la primera coordenada y segunda coordenada de los elementos en \(\mathcal{R}_{1}\) todos pertenecen al conjunto \(A\text{.}\)

Pero \(\mathcal{R}_{2}\) no es una relación en \(A\text{,}\) ya que \(\mathcal{R}_{2}\) no es un subconjunto de \(A\times A\text{,}\) por ejemplo \((b,d)\in \mathcal{R}_{2}, d\not\in A\text{.}\)

Sea \(A=\{\mathrm{{\text{los alumnos de este curso}}\}}\text{,}\) entonces podemos definir la siguiente relación el conjunto \(A\text{,}\) dada por:

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(x,y)\in A\times A\mid x\mathrm{{\text{ es amigo de }} }y\mathrm{\}.} \end{equation*}

Notación: Denotaremos a los elementos \((x,y) \) que pertenecen a la relación \(\mathcal{R}\) del siguiente modo \(x\mathcal{R}y\text{,}\) es decir,

\begin{equation*} (x,y)\in\mathcal{R}\Leftrightarrow x\mathcal{R}y, \end{equation*}

donde \(x\mathcal{R}y\) se lee, \(x\) esta relacionado con \(y\text{.}\)

Equivalentemente aquellos elementos que no están relacionados los denotaremos por:

\begin{equation*} (x,y)\notin\mathcal{R}\Leftrightarrow x \diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R} y. \end{equation*}

Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) donde la relación es:

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(a,a),(a,b),(b,c)\}, \end{equation*}

en este caso tenemos que los siguientes elementos están relacionados

\begin{equation*} a\mathcal{R}a ;\ \ a\mathcal{R}b; \ \ b\mathcal{R}c \end{equation*}

pero los siguientes elementos no están relacionados

\begin{equation*} b\diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R} a; \ \ c\diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R} b ; \ \ a\diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R} c \end{equation*}

Sea \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid xy\mathrm{{\text{ es múltiplo de }}3\}},\) es una relación en los números naturales.

En este caso tenemos que \(1\) y \(3\) están relacionados, ya que \(1\cdot3\) es múltiplo de \(3,\) luego lo escribimos \(1\mathcal{R}3\text{.}\)

Y los elementos \(2\) y \(5\) no están relacionados, ya que \(2\cdot5\) no es múltiplo de \(3\text{,}\) luego lo expresamos \(2\diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R}5\text{.}\)

Dado

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\in\left( \mathbb{N} \times\mathbb{R}\right) \mathbb{\times}\left( \mathbb{N\times R}\right) \mid x_{1}y_{1}\mathrm{{\text{ es múltiplo de }}}3\vee x_{2}^{2}=y_{2} ^{2}\mathrm{\}}, \end{equation*}

es una relación en \(\mathbb{N}\times\mathbb{R}\text{.}\)

Por ejemplo tenemos que:

  1. Los elementos \(\left( 1,2\right)\) y \(\left( 3,-5\right)\) están relacionados, ya que la proposición \(1\cdot3\) es múltiplo de \(3\vee2^{2}=\left( -5\right) ^{2}\) es verdadera. Es decir,

    \begin{equation*} \left( 1,2\right) \mathcal{R}\left( 3,-5\right) \end{equation*}

  2. Los elementos \(( -2,1), (2,1)\text{,}\) cumple la proposición

    \begin{equation*} (-2)\cdot 2 \text{ es múltiplo de }3 \vee 1^{2}=1^2 \end{equation*}

    pero como \(\left( -2,1\right) \notin\mathbb{N}\times\mathbb{R}\) luego, no tiene sentido la expresión \(\left( 2,1\right) \mathcal{R}\left( -2,1\right) \text{.}\)

  3. Los elementos \(\left( 2,1\right) \) y \(\left( 2,5\right)\) no están relacionados, ya que la proposición \(2\cdot2\) es múltiplo de \(3\vee1^{2}=\left( 5\right) ^{2},\) es falsa. Es decir,

    \begin{equation*} \left( 2,1\right) \diagup\!\!\!\!\!\mathcal{R}\left( 2,5\right) \end{equation*}
Definición 3.1.7

Sea \(\mathcal{R}\) una relación en \(A\text{,}\) entonces diremos:

  1. Refleja.

    Se dice que \(\mathcal{R}\) es una relación refleja en \(A\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall x\in A)(x\mathcal{R}x). \end{equation*}

  2. Simétrica.

    Se dice que \(\mathcal{R}\) es una relación simétrica en \(A\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall x,y\in A)(x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x), \end{equation*}

    lo que es equivalente a decir

    \begin{equation*} (\forall x\in A)(\forall y\in A)(x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x), \end{equation*}

  3. Antisimétrica.

    \(\mathcal{R}\) es una relación antisimétrica en \(A\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall x,y\in A)[(x\mathcal{R}y\wedge y\mathcal{R}x)\Rightarrow x=y]. \end{equation*}

  4. Transitiva.

    \(\mathcal{R}\) es una relación transitiva en \(A\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall x,y,z\in A)[(x\mathcal{R}y\wedge y\mathcal{R}z)\Rightarrow x\mathcal{R}z]. \end{equation*}

  5. Totalidad.

    \(\mathcal{R}\) es una relación total en \(A\) si y sólo si

    \begin{equation*} (\forall x,y\in A)\left[ x\mathcal{R}y \vee y \mathcal{R}x \right]. \end{equation*}

Sea \(A=\{a,b,c\}\text{,}\) y la relación

\begin{equation*} \mathcal{R}=\{(a,a),(a,b),(b,c)\}. \end{equation*}

en \(A\text{.}\) Determinar si \(\mathcal{R}\) es refleja, simétrica, antisimétrica y transitiva en \(A\text{.}\)

Solución 1

  1. \(\mathcal{R}\) no es refleja pues para \(x=b\text{,}\) se tiene que \(b\mathcal{R}b\equiv F\text{.}\)

  2. \(\mathcal{R}\) no es simétrica, ya que para \(x=a\) y \(b=y\text{,}\) tenemos que

    \begin{equation*} \left( a\mathcal{R}b\Rightarrow b\mathcal{R}a\right) \equiv F. \end{equation*}

  3. \(\mathcal{R}\) es antisimétrica ya que:

    \begin{equation*} \begin{array} [c]{l} (a\mathcal{R}a\wedge a\mathcal{R}a)\Rightarrow a=a\equiv V\\ (a\mathcal{R}b\wedge b\mathcal{R}a)\Rightarrow a=b\equiv V\\ (a\mathcal{R}c\wedge c\mathcal{R}a)\Rightarrow a=c\equiv V\\ (b\mathcal{R}a\wedge a\mathcal{R}b)\Rightarrow b=a\equiv V\\ (b\mathcal{R}b\wedge b\mathcal{R}b)\Rightarrow b=b\equiv V\\ (b\mathcal{R}c\wedge c\mathcal{R}b)\Rightarrow b=c\equiv V\\ (c\mathcal{R}a\wedge a\mathcal{R}c)\Rightarrow c=a\equiv V\\ (c\mathcal{R}b\wedge b\mathcal{R}c)\Rightarrow c=b\equiv V\\ (c\mathcal{R}c\wedge c\mathcal{R}c)\Rightarrow c=c\equiv V \end{array} \end{equation*}

  4. \(\mathcal{R}\) no es transitiva, con \(x=a,y=b\) y \(z=c\text{,}\) se tiene que

    \begin{equation*} \left[ (a\mathcal{R}b\wedge b\mathcal{R}c)\Rightarrow a\mathcal{R}c\right] \equiv F. \end{equation*}

Dada la relación \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \ \mid \ x=y^{2}\}\) en \(\mathbb{N}\text{.}\)

Determinar si \(\mathcal{R}\) es refleja, simétrica, antisimétrica y transitiva.

Solución 2

  1. \(\mathcal{R}\) no es refleja, ya que para \(x=2\text{,}\) se tiene

    \begin{equation*} 2=2^{4}\equiv F. \end{equation*}

  2. \(\mathcal{R}\) no es simétrica, pues para \(x=36\) y para \(y=6\text{,}\) obtenemos que

    \begin{equation*} 36\mathcal{R}6,\mathrm{{\text{ pues }}36=6^{2},} \end{equation*}

    pero \(6\) no esta relacionado con \(36\text{,}\) puesto que

    \begin{equation*} 6\not =\left( 36\right) ^{2}. \end{equation*}

    es decir,

    \begin{equation*} 36\mathcal{R}6\Longrightarrow6\mathcal{R}\left( 36\right) ^{2} \end{equation*}
    \begin{equation*} \left[ 36=6^{2}\Longrightarrow6=\left( 36\right) ^{2}\right] \equiv F. \end{equation*}

    por lo anterior, al proposición es falsa.

    \begin{equation*} (\forall x,y\in A)(x\mathcal{R}y\Rightarrow y\mathcal{R}x) \end{equation*}

  3. La relación \(\mathcal{R}\) es antisimétrica pues.

    \begin{equation*} (\forall x,y\in A)\left[ \left( x\mathcal{R}y\wedge y\mathcal{R}x\right) \Rightarrow x=y\right]. \end{equation*}

    Supongamos que \(\left( x\mathcal{R}y\wedge y\mathcal{R}x\right) \) es verdadero. Queremos demostrar que \(x=y\text{.}\)

    Para ello tenemos que

    \begin{equation*} x=y^{2} \wedge y=x^{2} \end{equation*}

    luego reemplazando \(y\) en la primera ecuación tenemos

    \begin{equation*} \begin{array}{rl} x \amp =y^{2}\\ x \amp =(x^{2})^{2}\\ x \amp =x^{4}\\ 0 \amp =x^{4}-x\\ 0 \amp =x(x^{3}-1)\\ 0 \amp =x(x-1)(x^{2}+x+1)\\ \end{array} \end{equation*}

    de donde deducimos que \(x=0\vee x=1\text{.}\)

    Si \(x=0\text{,}\) entonces \(y=0\text{,}\) por tanto \(x=y=0\text{.}\)

    Si \(x=1\text{,}\) entonces \(y=1\text{,}\) por lo tanto \(x=y=1\text{.}\)

    De esta forma queda demostrado que \(\mathcal{R}\) es antisimétrica.

  4. \(\mathcal{R}\) no es transitiva, ya que para \(x=81,y=9\) y \(z=3\text{,}\) se tiene

    \begin{equation*} (81=9^{2}\wedge9=3^{2})\Rightarrow81=3^{2}\equiv F. \end{equation*}

Subsección Ejercicios

Determine si las siguientes relaciones son reflejas, simétricas, antisimétricas y transitivas:

  1. \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid xy\mathrm{{\text{ es múltiplo de }}3\}}.\)
  2. \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid2x+y\mathrm{{\text{ es múltiplo de }}3\}}.\)
  3. \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid|x-y|\lt 3\}.\)