Sección 1.2 Conjunto
¶Sea \(U\) una agrupación de objetos y \(p(x)\) una función proposicional en \(U\text{,}\) se define:
\begin{equation*}
A= \{ x\in U \mid p(x) \}.
\end{equation*}
\(A\) es un conjunto y esta formado por todos los elementos de \(U\) que al ser reemplazados en la función proposicional \(p(x)\) el valor de verdad de la proposición es verdadero.
De otro modo se tiene que
\begin{equation*}
a\in A \Leftrightarrow p(a)\equiv V
\end{equation*}
Determinar por extensión los siguientes conjuntos
- \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid(x+1)(x-2)=0\}\)
- \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid(2x+1)(x-3)=0\}\)
1) Sea \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid (x+1)(x-2)=0\}\text{,}\) luego
\begin{equation*}
(x+1)(x-2)=0,
\end{equation*}
de este producto y haciendo uso de las propiedades de \(\mathbb{Z}\) tenemos:
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
x+1=0\quad\vee\quad x-2=0\\
x=-1\quad\vee\quad x=2.
\end{array}
\end{equation*}
Resumiendo
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
A \amp =\{x\in\mathbb{Z}\mid(x+1)(x-2)=0\}\\
\amp =\{x\in\mathbb{Z}\mid(x=-1)\vee(x=2)\}\\
\amp =\{-1,2\},
\end{array}
\end{equation*}
donde la solución es \(A=\{-1,2\}\text{.}\)
2) Sea \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid(2x+1)(x-3)=0\}\text{,}\) pero
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
(2x+1)(x-3)=0\\
2x+1=0\quad\vee\quad x-3=0\\
x=-\frac{1}{2}\quad\vee\quad x=3.
\end{array}
\end{equation*}
notemos que hemos resuelto la ecuación en \(\mathbb{R}\text{,}\) pero como el universo es \(\mathbb{Z}\text{,}\) entonces la solución es \(B=\{3\}\text{.}\)
Subsección 1.2.1 Nociones Básica de Conjunto
¶En adelante consideremos lo siguiente conjuntos
\begin{equation*}
\begin{array}[c]{l}
A=\{x\in U\mid p(x)\}\\
B=\{x\in U\mid q(x)\}.
\end{array}
\end{equation*}
Igualdad
\begin{equation*}
A=B \text{ si y sólo si }(\forall x\in U)(p(x)\Leftrightarrow q(x)).
\end{equation*}
Subconjunto
\begin{equation*}
A\subseteq B \text{ si y sólo si }(\forall x\in U)(p(x)\Longrightarrow q(x)).
\end{equation*}
Unión
\begin{equation*}
A\cup B=\{x\in U\mid p(x)\vee q(x)\}.
\end{equation*}
Donde la unión de dos conjuntos esta formada por los elementos que están en \(A\) o en \(B\)
Intersección
\begin{equation*}
A\cap B=\{x\in U\mid p(x)\wedge q(x)\}.
\end{equation*}
Donde la intersección de dos conjuntos esta formada por los elementos que están tanto en \(A\) como en \(B\text{.}\)
Diferencia
\begin{equation*}
A-B=\{x\in U\mid p(x)\wedge\overline{q(x)}\}.
\end{equation*}
Es decir la diferencia de \(A\) con \(B\) son los elementos que están en \(A\) pero que no están en \(B\text{.}\)
Diferencia Simétrica
\begin{equation*}
A\bigtriangleup B=\{x\in U\mid p(x)\underline{\vee}q(x)\}.
\end{equation*}
La que podemos traducir como: Los elementos que están en \(A\) pero no en \(B\text{,}\) y además no están en \(A\) pero están en \(B\text{.}\)
Conjunto Potencia
El conjunto potencia de \(A\) esta dado por
\begin{equation*}
\mathcal{P}(A)=\{B \subseteq U \mid B \subseteq A\},
\end{equation*}
el conjunto potencia de \(A\) esta formado por todos los subconjuntos de \(A\text{.}\)
Ejemplo 1.2.2
Sea \(A=\{1,2\}\text{,}\) luego el conjunto \(\mathcal{P}(A)\) es:
\begin{equation*}
\mathcal{P}(A)=\{\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
\end{equation*}
Complemento
El complemento de \(A\) es el conjunto
\begin{equation*}
\overline{A}=\{x\in U\mid\overline{p(x)}\}
\end{equation*}
Notación
\(A\) complemento se denota como:
\begin{equation*}
\overline{A}=A^{c}=A^{\prime}.
\end{equation*}
Ejemplo 1.2.3
Sea \(A=\{1,2,3\}\text{,}\) luego \(A^{c}\) esta dado por:
\begin{equation*}
A^{c}=U-A.
\end{equation*}
Cardinal de un conjunto
Sea \(A\) un conjunto, el cardinal de \(A\) es el número de objetos que contiene. Si la cantidad objetos es un número natural decimos que el conjunto es finito, en caso contrario decimos que el conjunto es infinito.
En general se usan los siguientes símbolos para denotar el cardinal de un conjunto para referirnos al cardinal del conjunto \(A\)
\begin{equation*}
\#(A),\quad\mid A \mid.
\end{equation*}
Ejemplo 1.2.4
Algunos ejemplo de cardinalidad
- \(\#(\phi)=0.\)
- \(\#(\{\{\phi\}\})=1.\)
- \(\#(\{\{3\}\})=1.\)
- \(\#(\{\{1,2\}\})=1.\)
- \(\#(\{\{1\},\{2\}\})=2\)
Ejemplo 1.2.5
Sea \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid(\exists y\in\mathbb{Z})(x+2y=0)\}\text{,}\) Determinar \(A^{c}\)
Sea \(x\) pertenece a \(\mathbb{N}\) entonces \(x\) puede ser un número par o impar, analicemos los dos casos:
\(1^{er}\) caso: \(x\) es impar, luego
\begin{equation*}
x=2n+1,
\end{equation*}
donde
\begin{equation*}
p(2n+1):(\exists y\in\mathbb{Z})(2n+1+2y=0),
\end{equation*}
y dado que \(y\in\mathbb{Z}\text{,}\) obtenemos que
\begin{equation*}
2n+2y=-1\quad\equiv\quad F.
\end{equation*}
\(2^{do}\) caso: \(x\) es par, luego \(x=2n\text{,}\) donde
\begin{equation*}
p(2n):(\exists y\in\mathbb{Z})(2n+2y=0),
\end{equation*}
de donde obtenemos que \(y=-n\) y esto equivale a ser verdadero.
Luego \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\) \(\mathrm{{\text{es par}}\}}\text{,}\) y por lo tanto
\begin{equation*}
A^{c}=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ es impar}\mathrm{{\text{ }}}\}.
\end{equation*}
Producto Cartesiano
Sean \(A,B\) conjuntos, se define el producto cartesiano
\begin{equation*}
A\times B=\left\{ (x,y)\mid x\in A,\mathrm{{\text{ }}}y\in B\right\}.
\end{equation*}
Los elementos de este conjunto se llama pares ordenados, si \((x,y)\) es un par ordenado \(x\) es la primera coordenada o abscisa e \(y\) es la segunda coordenada u ordenada.
Igualdad
Dos elementos \((a,b),(c,d)\in A\times B\) son iguales si su abscisa y ordenada son iguales, es decir,
\begin{equation*}
(a,b)=(c,d)\Longleftrightarrow a=c\quad\wedge\quad b=d
\end{equation*}
Representación Gráfica.
En el eje horizontal se marca los elementos del conjunto \(A\) y en el eje vertical los elementos del conjunto \(B\)
La acción de graficar un subconjunto de \(A\times B\) es: marcar los elementos que están en el subconjunto.
Observación: En el cálculo aritmético y/o en el álgebra los paréntesis en general, después de hacer el desarrollo se van omitiendo, en teoría de conjunto tenemos algunos paréntesis que no podemos omitir o cambiar por otros, por ejemplo tenga presente que \(\{1,2\}=\{2,1\}\) igualdad de conjunto, pero \((1,2)\neq(2,1)\text{,}\) como pares ordenados.
Subsección 1.2.2 Propiedades de Conjuntos
¶-
Asociatividad
\begin{equation*} a)\quad(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\quad\quad b)\quad(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \end{equation*} -
Conmutatividad
\begin{equation*} a)\quad A\cup B=B\cup A\quad\quad b)\quad A\cap B=B\cap A. \end{equation*} -
Distributividad
\begin{equation*} a)\quad A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\quad\quad b)\quad A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) \end{equation*} -
Leyes de Absorción
\begin{equation*} a)\quad A\cup(A\cap B)=A\quad\quad b)\quad A\cap(A\cup B)=A \end{equation*} -
Leyes de Morgan
\begin{equation*} a)\quad(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\quad\quad b)\quad(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}. \end{equation*} -
Identidad
\begin{equation*} \begin{array}{rl} a)\quad A\cup\phi \amp =A\quad\quad b)\quad A\cap U=A\\ c)\quad A\cup U \amp =U\quad\quad d)\quad A\cap\phi=\phi. \end{array} \end{equation*} -
Complemento
\begin{equation*} \begin{array}{rl} a)\quad A\cup A^{c} \amp =U\quad\quad b)\quad A\cap A^{c}=\phi.\\ c)\quad(A^{c})^{c} \amp =A\quad\quad d)\quad U^{c}=\phi,\quad\phi^{c}=U. \end{array} \end{equation*} -
Idempotencia
\begin{equation*} a)\quad A\cup A=A\quad\quad b)\quad A\cap A=A. \end{equation*} -
Cardinalidad
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos finitos, en donde \(\#(A)=n\) y \(\#(B)=m\text{,}\) entonces:
- \(\#(\mathcal{P}(A))=2^{n}\text{.}\)
- \(\#(A\cup B)=\#(A)+\#(B)-\#(A\cap B).\)
- \(\#(A\times B)=\#(A)\cdot \#(B).\)
-
Producto Cartesiano
- \((A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C)\)
- \((A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C)\)
Ejemplo 1.2.6
Simplifique las siguientes expresiones
- \(A\cup(A-B)\text{.}\)
- \(((B\cup A^{c})^{c}\cup A)\cap C\text{.}\)
1.
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
A\cup(A-B) \amp =A\cup(A\cap B^c)\quad\mathrm{{\text{(por leyes de absorción)}}}\\
\amp =A.
\end{array}
\end{equation*}
2.
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
((B\cup A^{c})^{c}\cup A)\cap C \amp =((B^{c}\cap A)\cup A)\cap C\quad
\mathrm{{\text{(esto por las leyes de morgan)}}}\\
\amp =A\cap C\quad\mathrm{{\text{(por leyes de absorción)}}.}
\end{array}
\end{equation*}