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Sección 1.3 Guía Ejercicios

Lógica

  1. Construir una tabla de verdad para las siguientes proposiciones.

    1. \([(p\Rightarrow r)\wedge(r\Rightarrow p)]\Rightarrow\lbrack p\Leftrightarrow q]\)
    2. \(\overline{(p\Rightarrow(p\vee q))}\Rightarrow(p\wedge\bar{q})\)
    3. \([(p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow\bar{r})]\vee(p\Rightarrow r)\)

  2. Determinar para que valores de verdad de \(p,q\) la proposición \([(p\wedge q)\Leftrightarrow p]\) es falsa

  3. Sabiendo que el valor de verdad de \(q\) es falso, determinar el valor de verdad de \(p\) (en cada caso) para que cada una de las siguientes proposiciones sea falsa.

    1. \(p\Rightarrow(q\wedge p)\)
    2. \((p\vee\bar{q})\Rightarrow(p\wedge q)\)
    3. \((p\vee q)\Rightarrow(p\wedge\bar{q})\)
    4. \(p\Rightarrow(q\wedge\bar{p})\)
    5. \([(p\vee q)\wedge p]\Rightarrow q\)

  4. Sean \(p,q\) proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición \((p\Rightarrow q)\) es Falso.

    Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones.

    1. \([(\bar{p}\wedge q)\Rightarrow(\bar{p}\vee\bar{q})\)
    2. \([p\wedge\bar{q}]\vee\lbrack p\Rightarrow(q\wedge p)]\)
    3. \([(p\wedge q)\vee r]\Rightarrow\lbrack p\Rightarrow(q\wedge p)]\)
    4. \([(\bar{p}\vee q)\wedge p]\Rightarrow\lbrack\bar{p}\wedge\overline {(q\vee p)}]\)

  5. Sean \(p,q,r\) proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición \((p\wedge q)\Rightarrow r\) es Falsa.

    Determinar el valor de verdad de

    \begin{equation*} \lbrack(p\vee r)\wedge(p\vee q)]\Rightarrow\lbrack r\wedge(p\vee q)] \end{equation*}

  6. Sean \(p,q,r\) proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición \(p\Rightarrow(q\vee r)\) es Falsa.

    Determinar el valor de verdad de

    \begin{equation*} \lbrack(q\vee\bar{r})\wedge(\bar{p}\Rightarrow q)]\vee\bar{s}] \end{equation*}

  7. Sean \(p,q,r\) proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición (\(p\Rightarrow q)\wedge(r\Rightarrow p)\wedge(r\vee\bar{q})\) es Verdadera.

    Determinar el valor de verdad de

    \begin{equation*} (r\Leftrightarrow q) \end{equation*}

  8. Sabiendo que la proposición \((p\wedge s)\Rightarrow(q\wedge\bar {s})\) es Falso, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es:

    1. \(((p\wedge q)\Rightarrow s)\)
    2. \((q\wedge r)\vee s\)
    3. \((\bar{p}\Rightarrow q)\Rightarrow\bar{s}\)
    4. \(\bar{p}\Rightarrow(q\Rightarrow\bar{s})\)

  9. Sabiendo que la proposición \((q\wedge r)\Rightarrow(p\vee s)\) es Falsa, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es

    1. \((((p\vee q)\wedge s)\Rightarrow\overline{r})\)
    2. \(((p\vee q)\wedge(s\Rightarrow\overline{r}))\)
    3. \((p\vee(q\wedge(s\Rightarrow\overline{r})))\)

  10. Sabiendo que la proposición \((p\vee r)\wedge(q\wedge r)\) es Verdadera, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es:

    1. \(((p\vee q)\Rightarrow r)\)
    2. \((p\Rightarrow r)\Rightarrow q\)
    3. \(q\Rightarrow(r\Rightarrow p)\)

  11. Sean \(p,q,r\) proposiciones. Simplificar las siguientes proposiciones

    1. \((p\Rightarrow q)\vee(p\wedge(q\vee r))\)
    2. \([(p\vee q)\wedge r]\vee\lbrack p\wedge(q\Rightarrow p)]\)
    3. \([p\vee(p\wedge q)]\wedge\lbrack(p\vee r)\wedge(q\vee p)]\)
    4. \([(p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow p)]\Rightarrow\lbrack\bar {p}\Rightarrow\bar{q})]\)
    5. \([\overline{(p\vee\bar{q})}\wedge(\bar{p}\vee\bar{q})]\Rightarrow \lbrack\bar{p}\wedge\bar{q}]\)
    6. \([(p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow(p\vee q))]\Rightarrow p\)
    7. \((\overline{(p\vee\bar{q})}\wedge(\bar{p}\vee\bar{q}))\Rightarrow \overline{(p\wedge q)}\)
    8. \((\overline{(p\vee\bar{r})}\wedge\bar{r})\vee((p\wedge q)\vee\bar{q})\)

  12. Dadas las proposiciones \(p,q,r\text{.}\) Simplificar las siguientes proposiciones

    1. \(\left[ \left( p\vee q\right) \Longrightarrow r\right] \Longrightarrow\left( \overline{q}\wedge r\right) \)
    2. \(\left( \left( p\Longrightarrow q\right) \vee r\right) \Longrightarrow\left( q\vee\overline{p}\right) \)
    3. \([(p\Rightarrow q)\Rightarrow(p\vee q)]\)
    4. \(\left[ (q\Rightarrow p)\wedge p\right] \Rightarrow\left[ q\vee\overline{(\overline{p}\Rightarrow q)}\right] \)
    5. \(\left[ (q\Rightarrow p)\wedge\overline{p}\right] \Rightarrow\left[ q\vee\overline{(\overline{p}\Rightarrow q)}\right] \)
    6. \(r\Rightarrow\left[ (r\vee\overline{p})\wedge\left( \overline {p}\Rightarrow\left( q\wedge\overline{r}\right) \right) \right]\)
    7. \((q\vee\overline{r})\wedge\left[ \left( p\wedge q\right) \vee\left( p\wedge r\wedge q\right) \vee\left( q\wedge\overline{r}\wedge p\right) \right] \wedge\left( q\vee r\right) \)
    8. \((q\vee\overline{r})\wedge\left[ \left( p\wedge r\right) \vee\left( p\wedge\overline{r}\wedge q\right) \vee\left( p\wedge r\wedge q\right) \right] \wedge(q\vee r)\)

  13. Se define el conectivo \(\ast\) por \(p\ast q\equiv\left( (q\vee p)\Rightarrow(q\wedge p)\right) \) entonces la proposición \(p\ast q\) es Falsa, en cual(es) caso(s)

    1. \(p\equiv V,q\equiv V\)
    2. \(p\equiv V,q\equiv F\)
    3. \(p\equiv F,q\equiv V\)
    4. \(p\equiv F,q\equiv F\)

  14. La proposición \([(p\wedge q)\Rightarrow(p\vee q)]\) es equivalente a cual de las siguientes proposición

    1. \(\overline{p}\)
    2. \(\overline{q}\)
    3. \(V\)
    4. \(F\)

    5. Ninguna de las anteriores

  15. Completar la siguiente afirmación con una de las alternativas

    La proposición \(\left[ (p\vee q)\Rightarrow q\right] \Rightarrow\left[ \overline{p}\vee q\right] \) es:

    1. equivalente a \(\overline{p}\vee q\)

    2. una tautología

    3. una contradicción

    4. equivalente a \(q\)

    5. Ninguna de las anteriores

  16. Se define el conectivo \(\bigtriangledown\) por \((p\bigtriangledown q)\Leftrightarrow\left[ (p\wedge\overline{q})\Rightarrow(\overline{p}\vee q)\right]\)

    Determinar en que caso la proposición \((p\bigtriangledown q)\) es falsa

  17. Se define la proposición \(\left( p\circledcirc q\right) \Longleftrightarrow(p\Longrightarrow\overline{q}).\) Simplificar

    \begin{equation*} \overline{q}\circledcirc\left( \overline{p}\circledcirc q\right) \end{equation*}

  18. Dada la proposición \(\left( p\circledcirc q\right) \Longleftrightarrow(p\Longrightarrow\overline{q}).\) Simplificar

    \begin{equation*} \left( \overline{p}\circledcirc q\right) \circledcirc\overline{q} \end{equation*}

  19. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(\overline{p}\Rightarrow q)\text{.}\) Simplifique cada una de las siguientes proposiciones

    1. \(\left( p\downarrow(p\Rightarrow q)\right) \,\)
    2. \(\,\left( p\Rightarrow\overline{(p\downarrow q)}\right)\)

  20. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(q\Rightarrow p)\text{.}\) Simplifique las siguientes proposiciones.

    1. \(\left( (r\Rightarrow s)\downarrow r\right) \,\)
    2. \(\left( s\vee(r\downarrow\overline{s})\right) \,\)

  21. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(p\Rightarrow\overline{q})\text{.}\) Simplifique las siguientes proposiciones.

    1. \(\left( r\downarrow\left( s\Rightarrow r\right) \right) \,\)
    2. \(\left( s\vee(r\downarrow\overline{s})\right) \,\)
    3. \(\left( (p\Rightarrow q)\downarrow p\right) \)
    4. \(\left( p\vee(q\downarrow\overline{p})\right) \)

  22. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(\overline{p}\Rightarrow\overline{q})\text{.}\) Simplifique las siguientes proposiciones.

    1. \(\left( p\downarrow\overline{(p\Rightarrow q)}\right) \,\)
    2. \(\,\left( p\Rightarrow\overline{(p\downarrow q)}\right) \)

  23. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(\overline{p}\vee q)\text{.}\) Simplifique cada una de las siguientes proposiciones

    1. \(\left( q\downarrow\overline{(q\Rightarrow p)}\right) \,\)
    2. \(\,\left( p\Rightarrow\overline{(q\downarrow p)}\right) \)

  24. Dada la proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(\overline{p\vee q})\text{.}\) Simplifique las siguientes proposiciones.

    1. \(\left( p\downarrow(q\vee\overline{p})\right) \,\)
    2. \(\left( (p\downarrow q)\Rightarrow p\right) \,\)

  25. Dada la nueva proposición compuesta \(\left( p\downarrow q\right) \Leftrightarrow(\overline{q}\wedge p).\) Simplifique las siguientes proposiciones.

    1. \(\left( (\overline{r}\vee s)\downarrow r\right) \,\)
    2. \(\left( r\vee\overline{s}\right) \downarrow r\)
    3. \(s\vee(\overline{s}\downarrow\left( \overline{s}\wedge r\right) )\)
    4. \(\bar{s}\vee\left[ \overline{s}\downarrow\left( s\wedge r\right) \right] \)

  26. Dada la proposición \(p\ast q\equiv\lbrack p\Rightarrow(p\wedge q)]\)

    Simplificar

    1. \((p\ast q)\Rightarrow(p\ast p)\)
    2. \((p\ast\bar{q})\wedge(q\ast q)\)
    3. \((p\Rightarrow(p\ast q))\Rightarrow(\bar{p}\ast\bar{q})\)
    4. \((p\ast p)\Rightarrow\lbrack p\ast(q\Rightarrow p)]\)

  27. Sabiendo que la proposición \(p\Rightarrow(q\vee r)\) es Falsa, entonces. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

    1. \(((p\wedge q)\Rightarrow r)\)
    2. \((p\vee r)\wedge q\)
    3. \((p\Rightarrow q)\Rightarrow r\)
    4. \(p\Rightarrow(q\Rightarrow r)\)

  28. Si \(q\) es una proposición falsa. Determine en cada caso el valor de verdad de la proposición \(p\) para que cada proposición sea verdadera.

    1. (\(p\vee q)\wedge\overline{q}\)
    2. \((q\vee p)\Rightarrow(\overline{q}\wedge p)\)

  29. Marcar la(s) alternativa(s) correcta(s). Si la proposición \(p\ast q\equiv\lbrack(p\Rightarrow q)\Rightarrow(p\vee q)]\) entonces la proposición \(p\ast q\) es Falsa cuando

    1. \(p\equiv V,q\equiv V\)
    2. \(p\equiv V,q\equiv F\)
    3. \(p\equiv F,q\equiv V\)
    4. \(p\equiv F,q\equiv F\)

  30. Marcar la(s) alternativa(s) correcta(s). La proposición \([(p\wedge q)\Leftrightarrow p]\) es equivalente a la proposición

    1. \(p\)
    2. \(p\Rightarrow q\)
    3. \(q\Rightarrow p\)
    4. \(q\)

    5. Ninguna de las anteriores

  31. Marcar la(s) alternativa(s) correcta(s). La proposición \(\left[ (p\Rightarrow q)\wedge\overline{q}\right] \Rightarrow\overline{\left[ \overline{p}\wedge(\overline{q}\Rightarrow p)\right] }\) es:

    1. equivalente a \(\overline{p}\vee q\)

    2. una tautología

    3. una contradicción

    4. una proposición que depende del valor de \(p\)

  32. Marcar la(s) alternativa(s) correcta(s). Dada la proposición

    \begin{equation*} (p\bigtriangledown q)\Leftrightarrow\left[ (q\Rightarrow p)\wedge (p\wedge\overline{q})\right] \end{equation*}

    entonces la proposición \((q\bigtriangledown p)\)es verdadera cuando

    1. \(p\equiv V\) \(q\equiv V\)
    2. \(p\equiv V\) \(q\equiv F\)
    3. \(p\equiv F\) \(q\equiv V\)
    4. \(p\equiv F\) \(q\equiv F\)

  33. Se define los conectivos \(\Box\) y \(\triangle\) de la forma

    \begin{equation*} \begin{array}{rl} \left( p\Box q\right) \amp \Longleftrightarrow\left( p\Longrightarrow\bar {q}\right) \\ \left( r\triangle s\right) \amp \Longleftrightarrow\left( \bar{r}\vee s\right) \end{array} \end{equation*}

    Determine, sin usar tabla de verdad, si la siguiente proposición es o no una tautología

    \begin{equation*} \left( p\wedge\overline{\left( \bar{p}\triangle r\right) }\right) \vee\left[ \overline{\left( \bar{p}\triangle q\right) }\wedge \overline{\left( \bar{s}\Box p\right) }\right] \end{equation*}

  34. Sean \(p,q\) proposiciones. Se define una nueva proposición: \(p\ddagger q\) de acuerdo a la siguiente tabla

    \begin{equation*} \begin{array}[c]{|l|l|l|}\hline p \amp q \amp p\ddagger q\\ \hline V \amp V \amp F\\\hline V \amp F \amp V\\\hline F \amp V \amp F\\\hline F \amp F \amp F\\\hline \end{array} \end{equation*}

    1. Verifique que \((p\ddagger q)\Leftrightarrow(\overline{p\Rightarrow q})\) es tautología.

    2. Simplificar al máximo \((p\ddagger q)\ddagger p\)

Cuantificadores

  1. Sea \(M=\{1,2,3,4\}.\)

    Determinar el valor de verdad de

    1. (\(\forall x\in M)(x^{2}+1\geq1)\)
    2. \((\exists x\in M)(x^{2}-9x+20\geq0)\)

  2. Sean \(A=\{1,-1,0\}\) y \(B=\{2,\frac{-1}{2},1\}.\)

    Determinar el valor de verdad de

    \begin{equation*} (\forall x\in A)(\exists y\in B)(x+xy=y\vee xy+y=1) \end{equation*}

  3. Sea \(A=\{-2,-1,1,2\}.\) Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

    1. \((\exists x\in A)(x\) es par \(\Rightarrow x^{2}=2)\)
    2. \((\exists x\in A)(\forall y\in A)(x+y^{2}=1)\)

  4. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique.

    1. \((\forall x\in A)(x+2\gt0);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}-2x\lt0);\)
    3. \((\exists x\in A)(2x-2\lt0\Rightarrow x=2);\)
    4. \((\forall x\in A)(\forall y\in B)(x^{2}-y^{2}\gt0);\)
    5. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(xy\geq1\Rightarrow x=4y);\)

  5. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,\frac{1}{3}\}.\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\forall x\in A)(3-x^{2}\gt0);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}=1\Rightarrow x=2);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(xy\geq0\Rightarrow x^{2}y=1);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(xy\geq0\Rightarrow x^{2}y=1);\)

  6. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,2\}.\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}-3x+2\leq4);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}=1\Rightarrow x=2);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)

  7. Sean \(A=\{-2,-1,1\},\) \(B=\{-\frac{1}{2},1,2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique.

    1. \((\forall x\in A)(x(x-3)\leq2);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}=1\Rightarrow x=2);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x^{-1}+y\geq0\Rightarrow x+y^{-1}\geq0);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x^{-1}+y\geq0\Rightarrow x+y^{-1}\geq0);\)

  8. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{\frac{1}{2},-1,-2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

    1. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x-y\geq0\Rightarrow x+y\gt 0);\)
    2. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x-y\geq0\Rightarrow x+y\gt 0);\)

  9. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

    1. \((\exists x\in A)(x^{2}=1\Rightarrow x=2);\)
    2. \((\forall x\in A)(x^{2}-3x+2\leq4);\)
    3. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)
    4. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)

  10. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}=4\Rightarrow x=2);\)
    2. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x\cdot y\lt0\vee x\gt y);\)
    3. \((\forall y\in A)(\exists x\in B)(x\cdot y\lt0\vee x\gt y);\)
    4. \((\exists x\in A)(x^{2}\lt4)\Rightarrow(\forall x\in A)(x=2);\)

  11. Sean \(A=\{1,2,3,4\},B=\{-2-1,0\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}=-1\Rightarrow x=1);\)
    2. \((\exists x\in B)(3x=0\vee x^{2}=-3);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(xy=-2\vee xy-5y=0);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(xy=-2\vee xy-5y=0);\)

  12. Sean \(A=\{-2,-1,1\},\) \(B=\{-\frac{1}{2},1,2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique

    1. \((\forall x\in A)(x(x-3)\leq2);\)
    2. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x^{-1}+y\geq0\Rightarrow x+y^{-1}\geq0);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x^{-1}+y\geq0\Rightarrow x+y^{-1} \geq 0);\)

  13. Sean \(A=\{0,1,2\},B=\{-1,\frac{1}{3}\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas justifique adecuadamente

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}-2x+1\gt0);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}-2x\lt0);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x+y\geq0\Rightarrow x\gt 9y);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x+y\geq0\Rightarrow x\gt 9y);\)

  14. Sean \(A=\{1,2,3,4\},B=\{-2-1,0\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}=4\Rightarrow x=2);\)
    2. \((\exists x\in B)(3x=0\vee x^{2}=-1);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(xy=-2\vee xy-5y=0);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(xy=-2\vee xy-5y=0);\)

  15. Dados los conjuntos \(A=\left\{ 1,2,-3\right\} ,B=\left\{ -1,1\right\} \text{.}\)

    Determinar el valor de verdad de

    1. \(\left( \forall x\in A\right) \left( \exists y\in B\right) \left( \left( \dfrac{x}{y}\leq1\right) \wedge\left( \dfrac{y^{2}}{x}\lt1\right) \right) \)
    2. \(\left( \exists y\in B\right) \left( \forall x\in A\right) \left( \left( \dfrac{x}{y}\leq1\right) \wedge\left( \dfrac{y^{2}}{x}\lt1\right) \right) \)

  16. Dados los conjuntos \(A=\left\{ 1,2,3\right\} ,B=\left\{ -1,1\right\} \text{.}\)

    Determinar el valor de verdad de

    1. \(\left( \forall x\in A\right) \left( \exists y\in B\right) \left( \left( \dfrac{x}{y}\leq1\right) \vee\left( \dfrac{y^{2}}{x}\lt1\right) \right) \)
    2. \(\left( \exists y\in B\right) \left( \forall x\in A\right) \left( \left( \dfrac{x}{y}\leq1\right) \vee\left( \dfrac{y^{2}}{x}\lt1\right) \right) \)

  17. Sean \(A=\{-1,1,-2\},B=\{-\frac{1}{2},1,-2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)\left( \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{2}\geq1\Rightarrow\dfrac{x}{y}\geq1\right) \)
    2. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)\left( \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{2}\geq1\Rightarrow\dfrac{x}{y}\geq1\right) .\)

  18. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\forall x\in A)(x^{2}-3x+2\leq4);\)
    2. \((\exists x\in A)(x^{2}=1\Rightarrow x=2);\)
    3. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)
    4. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x+y\geq0\Rightarrow x-y\gt0);\)

  19. Sean \(A=\{-1,1,2\},B=\{\frac{1}{2},-1,-2\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)(x-y\geq 0\Rightarrow x+y\gt 0);\)
    2. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)(x-y\geq0\Rightarrow x+y\gt 0);\)

  20. Sean \(A=\{-1,1,-2\},B=\{-\frac{1}{2},1,\frac{1}{3}\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

    1. \((\exists x\in A)(\forall y\in B)\left( xy\geq 0\Rightarrow y^{2} x\geq1\right) .\)
    2. \((\forall y\in B)(\exists x\in A)\left( xy\geq 0\Rightarrow y^{2} x\geq1\right) \)

Conjunto

  1. Sean \(A=\{a,b,\phi\},B=\{\phi,\{a\}\},C=\{b,c,d\}\)

    Determinar por extensión

    \begin{equation*} D=(B-\mathbb{P(}A))-\mathbb{P(}A-C)) \end{equation*}

  2. Sean \(A=\{0,\phi\},B=\{1,\{\phi\}\},C=\{0,1,\{\phi\}\}\)

    Determinar por extensión

    \begin{equation*} D=(\mathbb{P(}A)-(B-C))\cap\mathbb{P(}C) \end{equation*}

  3. Sean \(A=\{(a,a),(a,b),(a,c)\},B=\{a,b\},C=\{a,c\}\)

    Determinar por extensión

    \begin{equation*} D=[(A\cap(B\times C))\cup\mathbb{P(}B)]-\mathbb{P(}C) \end{equation*}

  4. Sean \(A\) y \(B\) conjuntos tales que \((A\cup B\subseteq B).\) Dibuje un diagrama de Venn que muestre la situación

  5. Sean \(A,B,C\) subconjunto de \(U\) (universo relativo). Simplifique, usando propiedades de conjuntos

    1. \((A\cap B)\cup\lbrack(A\cup B^{c}\cup C)\cap(A\cup C)]\cup(C\cap B^{c})\)
    2. \([(A\cup B^{c}\cup C)\cap(A\cup B)]\cup(C\cap B)\)
    3. \((C\cap A^{c})^{c}\cap(B^{c}\cap A)\cap(B\cap C)^{c}\)
    4. \([(A\cup(B\cap A)]\cap\lbrack(B\cup A)\cap(A\cup C)]\)
    5. \(\left[ \left( A-B\right) \cup\left( C-A\right) \right] ^{c} \cap\left[ A-\left( C-B\right) \right] \)
    6. \(\left[ (A^{c}-B)-(A-B^{c})\right] \cup B\)
    7. \(\left[ \left[ (A^{c}-B)-(A-B^{c})\right] \cup B\right] \cap\left[ A-\left( C-B\right) \right] \)
    8. \(\left[ (B-A)\cup(B-A^{c})\right] \cup(B\cap A)\)
    9. \(\left[ (B-A)\cup(B^{c}-A)\right] \cup\left( B\cap A\right) \)

  6. Sean \(A\)y \(B\) conjuntos. Se define

    \begin{equation*} A\ast B=[A^{c}\cup B)-(A\cap B^{c})]^{c} \end{equation*}

    Calcular \(A\ast A\)

  7. Sean \(A\ast B=B-(A\bigtriangleup B)\) entonces \(A-(A\ast B)\) es igual a

    1. \(A\)
    2. \(A\cap B^{c}\)
    3. \(A^{c}\cap B\)
    4. \(B\)

    5. Ninguna de las anteriores

  8. Sean \(A\ast B=(A\cap B)-A^{c}\) entonces \((A\ast C)\cup C\) es igual a

    1. \(A\)
    2. \(A\cap C\)
    3. \(A\cup C\)
    4. \(C\)

    5. Ninguna de las anteriores

  9. Sean \(A\ast B=B\bigtriangleup(A-B)\) entonces \(A\ast(A\ast B)^{c}\) es igual a

    1. \(A\)
    2. \(A\cap B^{c}\)
    3. \(A^{c}\cap B\)
    4. \(B\)

    5. Ninguna de las anteriores

  10. Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Se define

    \begin{equation*} A\ast B=[A^{c}\cup B)-(A\cap B^{c})]^{c} \end{equation*}

    Calcular \(A\ast A\)

  11. Sean \(A=\{\phi,\{1\}\},B=\{1,2\},C=\{\phi,2\}.\)

    Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

    1. \(\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\};\)
    2. \(((A\cup C)-B)=\{\phi\};\)
    3. \((A\cup B)-(A\cap B)=\{\phi,2\};\)
    4. \(((A\cup C)\cap\mathbb{P}(B))=A;\)

  12. Sean \(A=\{\phi,1\},B=\{1,2\},C=\{\phi,2\}\)

    Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

    1. \(\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(B)=\{\phi,\{\phi,2\}\};\)
    2. \(\mathbb{P}(A\cup B)\cap\mathbb{P}(C)=\{\phi,\{\phi\},\{\phi,2\}\};\)
    3. \((A\cup B)-(A\cap B)=\{\phi,2\};\)
    4. \(\#((A\cup C)\cap\mathbb{P}(B))=2;\)
    5. \(\#((A\cup C)-B)=0;\)

  13. Sean \(A=\{\phi,\{2\}\},B=\{1,2\},C=\{\phi,1\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

    1. \(\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\};\)
    2. \(((A\cup C)-B)=\{\phi\};\)
    3. \((A\cup B)-(A\cap B)=\{1,2,\{2\}\};\)
    4. \(((A\cup C)\cap\mathbb{P}(B))=A;\)

  14. Sean \(A=\{\phi,\{1\}\},B=\{1,2\},C=\{\left\{ \phi\right\} ,1\}\text{.}\)

    Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

    1. \(\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(C)=\{\{2\},\{1,2\}\};\)
    2. \(((A\cup B)-C)=\left\{ \{1\},2\right\} ;\)
    3. \((A\cup B)-(A\cap B)=\{\phi,2\};\)
    4. \(((A\cup C)\cap\mathbb{P}(A))=\{1\};\)

  15. Sean \(A=\{\phi,1\},B=\{1,\{2\}\},C=\{\phi,2\}.\) Determinar por extensión los siguientes conjuntos

    1. \(\mathbb{P}(C)-B\)
    2. \(((A\cup B)-C)\)
    3. \((A\cup C)-(A\cap B)\)
    4. \(((A\cup C)\cap\mathbb{P}(A))\)

  16. Sean \(A=\{a,b,\phi\},B=\{\phi,\{a\}\},C=\{b,c,d\}\)

    Determinar por extensión el siguiente conjunto

    \begin{equation*} D=(B-\mathbb{P(}A))-\mathbb{P(}A-C)) \end{equation*}

  17. Sean \(A=\{0,\phi\},B=\{1,\{\phi\}\},C=\{0,1,\{\phi\}\}\)

    Determinar por extensión

    \begin{equation*} D=(\mathbb{P(}A)-(B-C))\cap\mathbb{P(}C) \end{equation*}

  18. Sean \(A=\{(a,a),(a,b),(a,c)\},B=\{a,b\},C=\{a,c\}\)

    Determinar por extensión

    \begin{equation*} D=[(A\cap(B\times C))\cup\mathbb{P(}B)]-\mathbb{P(}C) \end{equation*}

  19. Dados los conjuntos

    \begin{equation*} \begin{array}{rl} A \amp =\{x\in\mathbb{R\quad}:\mathbb{\quad}\left( 3x+1=2\right) \Longrightarrow\left( x-2\neq0\right) \}\\ B \amp =\{x\in\mathbb{R\quad}:\mathbb{\quad}\left( x+2\neq0\right) \Longrightarrow\left( x=1\right) \}\\ C \amp =\{x\in\mathbb{R\quad}:\mathbb{\quad} x\geq0\},\quad D=\{x\in \mathbb{R\quad}:\mathbb{\quad} x\leq3\}. \end{array} \end{equation*}

    Determinar por extensión

    1. \(\left( A\cup B\right) -C=\)
    2. \(\left( A\cap C\right) -D=\)
    3. \(\left( C\triangle D\right) -B=\)
    4. \(\left( A\triangle B\right) \triangle\left( C\triangle D\right) =\)

  20. Dado \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,-\frac{1}{3}\}\text{.}\)

    Determinar por extensión los siguientes conjuntos

    \begin{equation*} \begin{array}{rl} C \amp =\{x\in A\quad:\quad\left( \exists y\in B\right) \left( x+y\gt1\right) \}\\ D \amp =\{x\in A\quad:\quad\left( \forall y\in B\right) \left( x+y\gt1\right) \} \end{array} \end{equation*}

  21. Dados los conjuntos \(A=\{-1,1,2\},B=\{-\frac{1}{2},1,\frac{1}{3}\}\text{.}\)

    Determinar por extensión los siguientes conjuntos

    \begin{equation*} \begin{array}{rl} C \amp =\{x\in A\quad:\quad\left( \exists y\in B\right) \left( xy\gt1\right)\} \\ D \amp =\{x\in A\quad:\quad\left( \forall y\in B\right) \left( xy\gt1\right) \} \end{array} \end{equation*}

  22. Dados los conjuntos \(A=\{-1,\frac{1}{2},2\},B=\{-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,3\}.\)

    Graficar el conjunto

    \begin{equation*} E=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times B\quad:\quad y=\frac{\frac{1}{x} -1}{1-x}\right\} \end{equation*}

  23. Dados los conjuntos \(A=\{-1,\frac{1}{2},2\}\text{,}\) \(B=\{-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,3\}.\)

    Graficar el conjunto.

    \begin{equation*} E=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times B\quad:\quad y=\frac{1-x} {1-\frac{1}{x}}\right\} \end{equation*}

  24. Dado el conjunto \(A=\{-2,\frac{1}{2},2\}.\) Graficar el siguiente conjunto

    \begin{equation*} E=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times\mathbb{R}\quad:\quad y=\frac {1}{1-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}\right\} \end{equation*}

  25. Sea \(A=\mathbb{R-\{}0,1\mathbb{\}}.\) Graficar el conjunto

    \begin{equation*} E=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times\mathbb{R}\quad:\quad y=\frac {1-x}{1-\frac{1}{x}}\right\} \end{equation*}

  26. Sean \(A\) y \(B\) conjuntos tales que \((A\cup B\subseteq B).\) Dibuje un diagrama de Venn que muestre la situación

  27. Sean \(A,B,C\) subconjunto de \(U\) (universo relativo)

    Demostrar

    1. \(A\cup B=A\) si y sólo si \(B\subseteq A\)
    2. \(A\cap B=A\) si y sólo si \(A\subseteq B\)
    3. \(A\bigtriangleup B=A\) si y sólo si \(B=\phi\)
    4. \(A-B=A\) si y sólo si \(A\cap B=\phi\)

  28. Sean \(A,B,C\) Conjuntos finitos. Demostrar

    \begin{equation*} \sharp(A\cup B\cup C)=\sharp(A)+\sharp(B)+\sharp(C)-\sharp(A\cap C)-\sharp(A\cap B)-\sharp(B\cap C)+\sharp(A\cap B\cap C) \end{equation*}

  29. Demostrar usando álgebra de conjunto que

    \begin{equation*} \left[ \left( A-\left( B^{c}-A^{c}\right) \right) \cup B^{c}\right] \cap A=A \end{equation*}

  30. En un encuesta escolar realizada a 60 consumidores de Coca Cola, Fanta y Sprite. Se obtuvo la siguiente información 35 beben Coca Cola, 23 beben Fanta, 21 beben Sprite y tres estudiantes beben de las tres marcas.

    ¿Cuántos estudiantes consumen sólo una marca?

  31. Al encuestar a 100 consumidores de bebidas se obtuvo la siguiente información, 33 Beben Coca Cola 29 Beben Fanta. 22 Beben Quatro 13 Beben Coca Cola y Fanta. 6 Beben Fanta y Quatro 14 Coca Cola y Quatro. 6 Beben de las tres bebidas.

    ¿Cuántas personas no beben ninguna bebida?

  32. En un certamen científico escolar 34 alumnos recibieron premios por sus proyectos científicos. Se dieron 14 premios a proyectos en Biología, 13 premios en proyectos de Química y 21 en proyectos de Física. Si tres estudiantes recibieron premios en las tres áreas.

    ¿Cuántos recibieron premio en una sola área?

  33. En una encuesta a 37 personas, 18 toman Coca Cola y 15 toman Fanta, 10 no beben Fanta ni Coca.

    ¿Cuántos personas beben solamente una bebida?

  34. En una encuestas a 30 personas, 18 toman Cafe y 12 toman Te, 5 no toman Cafe ni Te.

    ¿Cuántos personas beben solamente una bebida?