Definición 5.5.1
Sean \(p(x),q(x)\in\mathbb{R}[x]\text{,}\) diremos que \(p(x)/q(x)\) es una fracción propia si el grado de \(p(x)\) es menor que el grado de \(q(x)\text{.}\)
Sección 5.5 Descomposición de fracciones parciales
¶Sean \(p(x), q(x)\) dos polinomios con coeficientes en \(\mathbb{R}\text{.}\)
Si el \(gr(p(x))\geq gr(q(x))\text{,}\) dividimos \(p(x)\) por \(q(x)\) para obtener \(p(x)=q(x)s(x)+ r(x)\text{,}\) luego dividiendo por \(q(x)\) obtenemos
\begin{equation*}
\frac{p(x)}{q(x)}= s(x)+\frac{r(x)}{q(x)},
\end{equation*}
donde \(r(x)= 0\) o \(gr(r(x))\lt gr(q(x))\text{.}\)
Por ejemplo:
\begin{equation*}
\frac{x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+1}{x^{2}-2x+1}= x^{2}-x-1+\frac{-6x+2}
{x^{2}-2x+1}.
\end{equation*}
Por lo anterior podemos suponer que en el cuociente \(p(x)/q(x)\text{,}\) tenemos que \(gr(p(x))\lt gr(q(x))\)
Teorema 5.5.2 [Descomposición en fracciones parciales]
Sean \(p(x)\) y \(q(x)\) dos polinomios reales, entonces cualquier fracción propia \(p(x)/q(x)\) se puede descomponer en la suma de fracciones parciales como sigue:
-
Si \(q(x)\) tiene un factor lineal, de la forma \(ax+b\text{,}\) no repetido, entonces la descomposición en fracciones parciales de \(p(x)/q(x)\text{,}\) contiene un término de la forma
\begin{equation*} \frac{A}{ax+b}, \end{equation*}donde \(A\) es una constante.
-
Si \(q(x)\) tiene un factor lineal repetido \(k\) veces, de la forma \((ax+b)^{k}\text{,}\) entonces la descomposición en fracciones parciales de \(p(x)/q(x)\) contiene términos de la forma:
\begin{equation*} \frac{A_{1}}{ax+b}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{A_{k} }{(ax+b)^{k}}, \end{equation*}donde \(A_{1},A_{2},\ldots,a_{k}\) son constantes.
-
Si \(q(x)\) tiene un factor irreducible de la forma \(ax^{2}+bx+x\text{,}\) no repetido, la descomposición en fracciones parciales de \(p(x)/q(x)\) contiene un término de la forma
\begin{equation*} \frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}, \end{equation*}donde \(A\) y \(B\) son constantes.
-
Si \(q(x)\) contiene un factor irreducible repetido \(k\) veces, de la forma \((ax^{2}+bx+c)^{k}\text{,}\) entonces la descomposición en fracciones parciales de \(p(x)/q(x)\) contiene términos de la forma
\begin{equation*} \frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}} +\cdot\cdot\cdot+\frac{A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}, \end{equation*}donde \(A_{1},\ldots,A_{k}\) y \(B_{1},\ldots,B_{k}\) son constantes.
Ejemplo 5.5.3
a. Determine la forma de la descomposición en fracciones parciales de
\begin{equation*}
\frac{7}{(x-1)^2(x+3)}
\end{equation*}
solución
\begin{equation*}
\frac{7}{(x-1)^2(x+3)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+3}
\end{equation*}
b. Determine la forma de la descomposición en fracciones parciales de
\begin{equation*}
\frac{1}{(x-1)^3(x^2+x+3)}
\end{equation*}
solución
\begin{equation*}
\frac{1}{(x-1)^3(x^2+x+3)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+x+3}
\end{equation*}
Note que el polinomio \(x^2+x+3\) es irreducible en \(\mathbb{R}[x]\text{.}\)
c. Determine la forma de la descomposición en fracciones parciales de
\begin{equation*}
\frac{1}{(x-1)(x^2+x+3)^2}
\end{equation*}
solución
\begin{equation*}
\frac{1}{(x-1)(x^2+x+3)^2}= \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+3}+\frac{Dx+E}{(x^2+x+3)^2}
\end{equation*}
Ejemplo 5.5.4
\begin{equation*}
\frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}
\end{equation*}
Por teorema se tiene
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\frac{5x+7}{(x-1)(x+3)} \amp =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\\
\amp =\frac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)}
\end{array}
\end{equation*}
luego igualamos los numeradores,
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
5x+7 \amp =A(x+3)+B(x-1)\\
\amp =(A+B)x+(3A-B)
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl|}
A+B \amp =3\\
3A-B \amp =7 \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
donde se obtiene que \(A=3\) y \(B=2\text{.}\)
Por tanto
\begin{equation*}
\frac{5x+7}{(x-1)(x+3)}=\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+3}
\end{equation*}
Ejemplo 5.5.5
\begin{equation*}
\frac{x^{3}-4x^{2}+9x-5}{(x^2-2x+3)^2}
\end{equation*}
Note que \(\Delta(x^2-2x+3)= -5\lt 0 \text{,}\) por ello es irreducible el polinomio, por teorema se tiene
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\frac{x^{3}-4x^{2}+9x-5}{(x^2-2x+3)^2} \amp =\frac{Ax+B}{(x^2-2x+3)}+\frac{Cx+D}{(x^2-2x+3)^2}\\
\amp =\frac{(Ax+B)(x^2-2x+3)+Cx+D}{(x^2-2x+3)^2}
\end{array}
\end{equation*}
luego, igualamos los numeradores,
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
x^{3}-4x^{2}+9x-5 \amp =(Ax+B)(x^2-2x+3)+Cx+D\\
\amp =Ax^3+(B-2A)x^2+(3A-2B+C)x+(3B+D)
\end{array}
\end{equation*}
de donde
\begin{equation*}
\begin{array}{rcr|}
A \amp =\amp 1 \\
-2A+B \amp =\amp -4 \\
3A-2B+C \amp =\amp 9 \\
3B+D \amp =\amp -5 \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
resolviendo se obtiene que \(A=1, B=-2,C=2,D=1\text{.}\)
Por tanto, se obtiene que
\begin{equation*}
\frac{x^{3}-4x^{2}+9x-5}{(x^2-2x+3)^2} =\frac{x-2}{(x^2-2x+3)}+\frac{2x+1}{(x^2-2x+3)^2}
\end{equation*}
Subsección Ejercicios
Descomponga en fracciones parciales
- \(\frac{7x+6}{x^{2}+x-6}\)
- \(\frac{5x+7}{x^{2}+2x-3}\)
- \(\frac{6x^{2}-14x-27}{(x+2)(x-3)^{2}}\)
- \(\frac{x^{2}+11x+15}{(x-1)(x+2)^{2}}\)
- \(\frac{5x^{2}-8x+5}{(x-2)(x^2-x+1)}\)
- \(\frac{3x^{3}-6x^{2}+7x-2}{(x^{2}-2x+2)^{2}}\)