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Sección 2.2 Sucesiones

En esta sección, se definirá el concepto de sucesión y se hará un estudio de las principales sucesiones en los números naturales, cada una de ellas con distintas aplicaciones

Definición 2.2.1

Se llama sucesión de números Reales a toda correspondencia o función de un subconjunto infinito de los Naturales en los Reales.

Las siguientes funciones son sucesiones.

\begin{equation*} \begin{array}{llll} i.\quad f: \amp \mathbb{N} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \amp \qquad \{n\}_{n\in\mathbb{N}}\\ \amp n \amp \longmapsto \amp n\\ \amp \amp \amp \\ ii. \quad f: \amp \mathbb{N} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \amp \qquad \{2^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\\ \amp n \amp \longmapsto \amp 2^{n}\\ \amp \amp \amp \\ iii.\quad f: \amp \mathbb{N} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \amp \qquad \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\\ \amp n \amp \longmapsto \amp \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\\ \amp \amp \amp \\ iv. \quad f: \amp \mathbb{N} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \amp \qquad \{0+1+2+\ldots+n\}_{n\in\mathbb{N}}\\ \amp n\amp \longmapsto \amp 0+1+2+\ldots+n\\ \amp \amp \amp \end{array} \end{equation*}

Cada una de estas sucesiones está definida en forma explícita, debido a que cualquier imagen de un valor se calcula a través de la formula, explícitamente.

Definición 2.2.3

La sucesión \(\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) se dice que esta definida por recurrencia si y sólo si el término \(a_{n}\) se obtiene a partir de los términos anteriores por alguna regla de formación.

Consideremos la siguiente sucesión definida por recurrencia

\begin{equation*} a_{0}=1,\quad\quad a_{n}=n\cdot a_{n-1}, \ n\geq 1. \end{equation*}

Luego tenemos que

\begin{equation*} \begin{array}[c]{lllll} a_{0}\amp = \amp 1 \amp \amp \\ a_{1}\amp = \amp 1\cdot a_{0}=1\cdot1=1 \amp \amp \\ a_{2}\amp = \amp 2\cdot a_{1}=2\cdot1=2 \amp \amp \\ a_{3}\amp = \amp 3\cdot a_{2}=3\cdot2=6 \amp \amp \\ a_{4}\amp = \amp 4\cdot a_{3}=4\cdot6=24 \amp \amp \\ a_{n}\amp = \amp n! \amp \amp \end{array} \end{equation*}

La anterior sucesión \(a_n\text{,}\) es una sucesión importante por ello se denota en forma especial por \(n!\) y se lee "\(n\) factorial".

Algunos ejemplos notables de sucesiones definidas por recurrencia:

Sean \(a,d,r\in\mathbb{R}, \) con \(r\neq 0\text{.}\)

i. Una sucesión definimos por recurrencia, es la siguiente

\begin{equation*} \ a_0 =a, \quad a_{n+1} = a_n + d, \ n\geq 0 \end{equation*}

Algunos valores de esta sucesión:

\begin{equation*} \begin{array}[c]{lllll} a_{0} \amp = \amp a \amp \amp \\ a_{1} \amp = \amp a_0+d=a+d \amp \amp \\ a_{2} \amp = \amp a_1+d= a+2d \amp \amp \\ a_{3} \amp = \amp a_2+d= a+3d\amp \amp \\ a_{n+1} \amp = \amp a_{n-1}+d=a+ nd. \amp \amp \end{array} \end{equation*}

La anterior sucesión es llamada progresión aritmética

\begin{equation*} a_n=a+nd \end{equation*}

ii. Una sucesión definimos por recurrencia, es la siguiente

\begin{equation*} \ a_0 =a, \quad a_{n+1} = a_n \cdot r, \ n\geq 0 \end{equation*}

Algunos valores de esta sucesión:

\begin{equation*} \begin{array}[c]{lllll} a_{0} \amp = \amp a \amp \amp \\ a_{1} \amp = \amp a_0\cdot r=a\cdot r \amp \amp \\ a_{2} \amp = \amp a_1\cdot r= a\cdot r^2 \amp \amp \\ a_{3} \amp = \amp a_2\cdot r= a\cdot r^3\amp \amp \\ a_{n+1} \amp = \amp a_{n-1}\cdot r=a\cdot r^n. \amp \amp \end{array} \end{equation*}

La anterior sucesión es llamada progresión geométrica

\begin{equation*} a_n=a\cdot r^n \end{equation*}

Para las otras, sean \(\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\text{,}\) \(k\in\mathbb{N}\text{.}\)

iii. Una sucesión definimos por recurrencia, es la siguiente

\begin{equation*} \ b_0 =a_k, \quad b_{n+1} = b_n + a_{n+k+1}, \ n\geq 0 \end{equation*}

Algunos valores de esta sucesión:

\begin{equation*} \begin{array}[c]{lllll} b_{0} \amp = \amp a_k \amp \amp \\ b_{1} \amp = \amp b_0+a_{0+k+1}=a_k+a_{k+1} \amp \amp \\ b_{2} \amp = \amp b_{1}+a_{1+k+1}=a_{k}+a_{k+1}+a_{k+2} \amp \amp \\ b_{3} \amp = \amp b_2+a_{k+3}=a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+3} \amp \amp \\ b_{n} \amp = \amp b_{n-1}+a_{n+k}=a_k+....+a_{n+k}. \amp \amp \end{array} \end{equation*}

La anterior sucesión es llamada sumatoria y se denota por

\begin{equation*} \sum_{i=k}^{n+k}a_i=a_k+....+a_{n+k} \end{equation*}

iv. Otra sucesión definida por recurrencia, es la siguiente

\begin{equation*} c_0=a_k, \quad c_{n+1}=c_n\cdot a_{n+k+1}, \ n\geq 0 \end{equation*}

Algunos ejemplos

\begin{equation*} \begin{array}[c]{lllll} c_{0} \amp = \amp a_k \amp \amp \\ c_{1} \amp = \amp c_0\cdot a_{0+k+1}=a_r\cdot a_{k+1} \amp \amp \\ c_{2} \amp = \amp c_{1}\cdot a_{1+k+1}=a_{k} \cdot a_{k+1} \cdot a_{k+2} \amp \amp \\ c_{3} \amp =\amp c_2 \cdot a_{k+3}=a_r \cdot a_{k+1}\cdot a_{k+2} \cdot a_{k+3}\amp \amp \\ c_{n} \amp = \amp c_{n-1}\cdot a_{n+k}=a_k\cdot ...\cdot a_{n+k}. \amp \amp \end{array} \end{equation*}

La anterior sucesión es llamada productoria y se denota por

\begin{equation*} \prod_{i=k}^{n+k} a_i= a_k\cdot ...\cdot a_{n+k}. \end{equation*}

En general tenemos la siguiente definición