Definición6.1
Se dice que \(f\) es una Función Real si y sólo si
- \(f \subseteq \mathbb{R}^2\) y
- \((\forall x,y,z \in \mathbb{R} )((x,y),(x,z)\in f \Rightarrow y=z)\)
Sección6Funciones Reales
¶En esta sección de abordaran los principales conceptos de la funciones reales, incluyendo la funciones sobre los naturales, es decir, las sucesiones de números reales
Subsección6.1Introducción
Observación:
En el caso general se dice que \(f\) es una función de \(A\) en \(B\) si y sólo si \(f\) un subconjunto de \(A \times B\) y \((\forall x\in A)(\exists ! y\in B)((x,y)\in f )\)
El primer gráfico “papy” representa una función y el segundo no:
Ejemplo6.2
La siguiente relación es una función
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ 2x+3y=1 \}.
\end{equation*}
Ejemplo6.3
La siguiente relación no es una función
\begin{equation*}
\mathcal{P}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ | \ y^2=4x+1 \}
\end{equation*}
Definición6.4Dominio de una Función
Se define el Dominio de \(f\) igual al conjunto
\begin{equation*}
Domf=\{x\in \mathbb{R}\ \ | \
\ (\exists !
y\in \mathbb{R} )((x, y)\in f) \}.
\end{equation*}
Definición6.5Recorrido de una Función
Se define el Recorrido de la función \(f\) igual al conjunto
\begin{equation*}
Rec(f)=\{y\in\mathbb{R}\ \ | \ \ (\exists x\in \mathbb{R})((x,y)\in f )\}
\end{equation*}
Notación:
Sea \(f\) una función, luego podemos escribir la función usando el siguiente código
\begin{equation*}
\begin{array}{rccl}
f: \amp \text{Dominio de } f \amp \longrightarrow \amp \text{Conjunto de llegada } \\
\amp \text{ variable } \amp \longmapsto \amp \text{ imagen única asociada } \\
\end{array}
\end{equation*}
Donde “Conjunto de llegada” es un conjunto que contiene el Recorrido o la Imagen.
También en la literatura emplea otros nombres para Dominio y estos son Conjunto de Partida, Conjunto de las Preimagen
Subsección6.2Ejemplos de Dominio
Ejemplo6.6
Determine el Dominio de la función
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\mathcal{L}: \amp A \subseteq \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\
\amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1-2x}{3}
\end{array}
\end{equation*}
El dominio es \(Dom \mathcal{L}=\mathbb{R}\)
Ejemplo6.7
Determine el Dominio de la función
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\mathcal{L}: \amp A \subseteq \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp [1,\infty[ \\
\amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1-2x}{3}
\end{array}
\end{equation*}
Ya que debemos resolver \(\frac{1-2x}{3} \geq 1 \text{,}\) que equivalente a \(x \leq -1\text{,}\) de este modo tenemos que el dominio es \(Dom \mathcal{L}=]-\infty,-1]\)
Ejemplo6.8
Determinar el Dominio de la función
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f: \amp A \subseteq \mathbb{R}-\{4\} \amp \longrightarrow \amp ]-\infty, 2]\\
\amp x \amp \longmapsto \amp \dfrac{2x+5}{x-4}
\end{array}
\end{equation*}
Para determinar el dominio de \(f\text{,}\) debemos resolver \(\frac{2x+5}{x-4} \leq 2 \text{,}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\frac{2x+5}{x-4}-2 \amp \leq \amp 0 \\
\frac{13}{x-4} \amp \leq \amp 0 \\
x-4 \amp \lt \amp 0
\end{array}
\end{equation*}
de este modo tenemos que el dominio es \(Dom f=]-\infty,4[\)
Subsección6.3Gráfica de Funciones
La gráfica de una función \(f:A\longrightarrow B\) se define como el conjunto de pares ordenados siguiente:
\begin{equation*}
Graf(f)=\{(x,f(x))\in A\times B\mid y=f(x),x\in A\}\subset\mathbb{R}^2
\end{equation*}
La representación gráfica de \(f\) se llama curva y se consigue marcando los puntos del conjunto en el plano.
Ejemplo6.9
Graficar la función \(f(x)=2x+5\text{.}\)
Para graficar podemos hacer una tabla en donde representemos a la variable dependiente asignándole valores a la variable independiente y así podemos representar algunos puntos en el plano y conociendo la curva podremos trazarla, en este caso se trata de una recta luego nos bastan dos puntos, ellos son \((0,5),(1,7)\in f\text{.}\)
Solución1
En general las Funciones Lineales Son funciones de la forma
\begin{equation*}
\begin{array}[t]{cccl}
f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp mx+b
\end{array}
\text{ con }m,b\in\mathbb{R}\text{.}
\end{equation*}
Si \(y=f(x)\) entonces tenemos la ecuación \(y=mx+b\) y su gráfica corresponde a una recta de pendiente \(m.\) La inclinación o pendiente de la recta depende del valor de \(m.\)
Funciones Cuadráticas Son funciones de la forma
\begin{equation*}
\begin{array}{cccl}
f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp ax^2+bx+c
\end{array} \text{ con }a,b,c\in\mathbb{R} \text{ y } a\not =0\text{.}
\end{equation*}
Si \(y=f(x)\) entonces \(y=ax^2+bx+c\text{,}\) luego la gráfica de la función corresponde a una parábola.
Un ejemplo de parábola esta dada por
Función Raíz Cuadrada: Esta función se define como:
\begin{equation*}
\begin{array}[t]{cccll}
f: \amp \mathbb{R}_0^+ \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}_0^+ \\
\amp x \amp \longmapsto \amp \sqrt{x}
\end{array}
\end{equation*}
La gráfica de la función es la siguiente:
Función Valor Absoluto: Esta función se define como:
\begin{equation*}
\begin{array}{cccl}
f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp |x|
\end{array}
\end{equation*}
La gráfica de la función es la siguiente:
Otras notaciones para las funciones En general tenemos el uso de subíndice:
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc}
f: \amp A \subseteq \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp B\subset \mathbb{R} \amp \qquad \amp \{f_i\}_{i\in A}\\
\amp i \amp \longmapsto \amp f(i)= f_i
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo6.10
Dos forma de escribir esta función son
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccccc}
a: \amp \mathbb{N}_0 \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}; \amp \qquad \amp \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}_{n\in \mathbb{N}_0} \\
\amp n \amp \longmapsto \amp a_n =\frac{n(n+1)}{2}
\end{array}
\end{equation*}
Podemos calcular \(a(0)= a_0= 0\text{,}\) \(a_3=a(3)= 6\)
Ejemplo6.11
Dada la función \(f\) definida por \(\{m^2+1\}_{m\in \mathbb{N}} \text{,}\)
Determinar los valores de \(f_1\text{,}\) \(f(3)\)
La sucesión esta definida por
\begin{equation*}
f(n)= n^2+1, \text{ con } n\in \mathbb{N}
\end{equation*}
luego tenemos que \(f_1= 1^1+1=2\text{,}\) \(f(3)=3^2+1= 10\)
Subsección6.4Funciones definidas por recurrencia
Definición6.12Factorial
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
!: \amp \mathbb{N}_0 \amp \longrightarrow \amp \mathbb{N} \\
\amp n \amp \longmapsto \amp n!
\end{array}
\end{equation*}
donde \(0!=1, \ (n+1)!= (n+1)(n!)\)
Algunos valores son
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
1! \amp = \amp 1 \\ 2! \amp = \amp 2 \\ 3! \amp = \amp 6\\ 4! \amp = \amp 24\\ 5! \amp = \amp 120
\end{array}
\end{equation*}
Definición6.13Sumatoria
Dada la función \(\{a_i\}_{i\in \mathbb{N}_0}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\sum : \amp \mathbb{N}_0 \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp n \amp \longmapsto \amp \sum_{i=0}^{n} a_i
\end{array}
\end{equation*}
donde \(\sum_{i=0}^0 a_i=a_0\) y \(\sum_{i=0}^{n+1} a_i= a_{n+1}+ \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}} a_i\)
Además \(0 \lt n\leq m\)
\begin{equation*}
\sum_{i=n}^{m} a_i= \sum_{i=0}^{m} a_i - \sum_{i=0}^{n-1} a_i
\end{equation*}
Ejemplo6.14
Dada la función \(a_i=i^2+1 \) con \(i\in \mathbb{N}\text{,}\) calcular \(\sum_{i=2}^5 a_i\)
El valor corresponde a
\begin{equation*}
\overset{5}{\underset{i=2}{\sum}} a_i= a_2+a_3+a_4+a_5= 5+10+17+26= 58
\end{equation*}
Ejemplo6.15
Calcular \(\sum_{i=2}^5 i(n+i)\)
El valor corresponde
\begin{equation*}
\sum_{i=2}^{5} i(n+i)= 2(n+2) + 3(n+3) + 4(n+4)+ 5(n+5)= 14n+54
\end{equation*}
Ejemplo6.16
Calcular
\begin{equation*}
\sum_{n=2}^5 i(n+i)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sum_{n=2}^{5} i(n+i)= i(2+i) + i(3+i) + i(4+i)+ i(5+i)= 14i+4i^2
\end{equation*}
Definición6.17Igualdad de Funciones
Dadas dos funciones \(f:A\longrightarrow B\) y \(g:C\longrightarrow D\) se dice que \(f=g\) si y sólo si se cumple que:
\begin{equation*}
(A=C)\wedge(B=D)
\end{equation*}
\begin{equation*}
(\forall x\in A)(f(x)=g(x))
\end{equation*}
o bien, dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio y conjunto de llegada \(B\text{,}\) y para cada elemento del dominio idénticas imágenes.
Ejemplo6.18
Sean
\begin{equation*}
\begin{array}[t]{lrl}
f: \amp \mathbb{R}\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp x+1\\
\end{array}\quad \text{ y }\quad
\begin{array}[t]{lrl}
g: \amp \mathbb{R}-\{0\}\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \frac{x(x + 1)}{x} \\
\end{array}
\end{equation*}
En este caso tenemos que \(f\neq g\) ya que \(Domf\neq Dom g.\)
Subsección6.5Algebra de Funciones
Definición6.19
Sean \(f\) y \(g\) funciones y \(D=Dom(f)\cap Dom(g)\not = \phi \) entonces se pueden definir una nuevas funciones.
1.- La suma de \(f\) y \(g\) se define por
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f + g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp f(x)+ g(x)
\end{array}
\end{equation*}
2.- La diferencia de \(f\) y \(g\) se define por
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f - g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp f(x)- g(x)
\end{array}
\end{equation*}
3.- El producto de \(f\) y \(g\) se define por
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
f\cdot g: \amp D \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp f(x)\cdot g(x)
\end{array}
\end{equation*}
4.- El producto por una escalar, caso especial se define como:
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\alpha f: \amp Dom (f) \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R} \\
\amp x \amp \longmapsto \amp (\alpha f)(x)=\alpha f(x) \\
\end{array}
\end{equation*}
5.- Si \(D'=\{x\in D\mid g(x)\not = 0\} \neq \phi\) entonces cuociente de \(f\) con \(g\) se define por
\begin{equation*}
\begin{array}{cccc}
\dfrac{f}{g}: \amp D' \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp \frac{f(x)}{g(x)}
\end{array}
\end{equation*}
6.- Sean \(A,B\) subconjuntos de números reales y sean \(f:A\longrightarrow \mathbb{R}\) y \(g:B\longrightarrow \mathbb{R}\) dos funciones tales que
\begin{equation*}
C=\{x\in A \mid f(x)\in B\} \neq \phi.
\end{equation*}
Entonces se define la compuesta de \(f\) y \(g\) dada por:
\begin{equation*}
\begin{array}{cccl}
(g\circ f): \amp C \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp g(f(x))
\end{array}
\end{equation*}
Claramente tenemos que \(C=Dom(g\circ f)\)
Observación:
Un caso particular donde ésta definición se cumple, es cuando tenemos que \(Rec(f)\subseteq Domg=B\text{,}\) entonces \(Dom(g\circ f)=Dom(f)=C \)
Ejemplo6.20
Sean
\begin{equation*}
\begin{array}{lccl}
f: \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2}
\end{array}\ \ \begin{array}{lccl}
g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp 3x+1\\
\end{array}
\end{equation*}
Encontrar la suma, la resta, el producto y el cuociente de \(f\) con \(g\text{.}\)
El dominio de \(f\) es \(Dom(f)=[-2,2]\) y el de \(g\) es \(Dom(g)=\mathbb{R}\text{.}\)
Luego
\begin{equation*}
Dom(f)\cap Dom(g)=[-2,2]\neq \phi
\end{equation*}
La suma de \(f\) y \(g\)
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
(f+g): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2}+(3x+1)\\
\end{array}
\end{equation*}
La diferencia
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
(f-g): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2}-(3x+1)\\
\end{array}
\end{equation*}
El producto
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
(fg): \amp [-2,2]\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \sqrt{4-x^2} \cdot(3x+1)
\end{array}
\end{equation*}
El cuociente
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
\left(\dfrac{f}{g}\right) : \amp [-2,2]-\{\frac{-1}{3}\}\longrightarrow \amp \mathbb{R}\\
\amp x \longmapsto \amp \frac{\sqrt{4-x^2}}{3x+1}
\end{array}
\end{equation*}
Ejemplo6.21
Sea
\begin{equation*}
\begin{array}{rccl}
f: \amp \mathbb{R}-\{0\} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\
\amp x \amp \longmapsto \frac{1}{x}
\end{array}
\end{equation*}
Encontrar \(f\circ f\text{,}\) \(f\circ f\circ f\)
Sabemos que \(Recf \subseteq Domf \text{,}\) luego \(Dom (f\circ f) = Dom f \text{,}\) calculemos ahora la imagen.
\begin{equation*}
(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x
\end{equation*}
luego tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rccl}
f\circ f: \amp \mathbb{R}-\{0\} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp x
\end{array}
\end{equation*}
La otra compuesta la obtenemos
\begin{equation*}
(f\circ f\circ f)(x) = f((f\circ f)(x)) = f(x) = \frac{1}{x}
\end{equation*}
así tenemos
\begin{equation*}
\begin{array}{rccl}
f\circ f \circ f : \amp \mathbb{R}-\{0\} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{0\}\\
\amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1}{x}
\end{array}
\end{equation*}
Subsección6.6Funciones Biyectivas
Definición6.22
Sea \(f:A \longrightarrow B\) una función, diremos que \(f\) es Biyectiva si y sólo si existe una función \(g:B \longrightarrow A\) tal que
- \((\forall b\in B)((f\circ g)(b)=b) \) y
- \((\forall a\in A )((g\circ f)(a)=a ).\)
La función \(g\) se llama función inversa de \(f\) y se denota por \(f^{-1}\text{.}\)
Observación: Para la existencia de tal función es necesario que todo elemento de \(B\) tenga preimagen, es decir \(B=Recf\text{.}\) Además no pueden existir dos elemento que tenga la misma imagen.
Definición6.23
Una función \(f:A \longrightarrow B\)
- se dice que \(f\) es inyectiva si y sólo si\begin{equation*} (\forall a, b\in A)(f(a)=f(b)\Longrightarrow a=b) \end{equation*}Es decir, \(f\) es inyectiva si y sólo si todo \(y\in Rec(f)\) tiene una y sólo una preimagen en el \(Dom(f)\text{.}\)
- se dice que \(f\) es epiyectiva o sobreyectiva si y sólo si \(Rec(f)=B\text{.}\) Es decir, todo elemento del conjunto de llegada tiene preimagen
Teorema6.24
Una función \(f:A \longrightarrow B\) se dice biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo6.25
Demostrar la inyectividad de la siguiente función
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
f: \amp \mathbb{R}-\{2\} \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{3\} \\
\amp x \longmapsto \amp \frac{3x+2}{x-2}
\end{array}
\end{equation*}
Sean \(x,y\in \mathbb{R}-\{2\}\) tales que
\begin{equation*}
\begin{array}{llrcl}
f(x)=f(y) \amp \Longrightarrow \amp \dfrac{3x+2}{x-2} \amp = \amp \dfrac{3y+2}{y-2}\\
\amp \Longrightarrow \amp (3x+2)(y-2) \amp = \amp (3y+2)(x-2) \\
\amp \Longrightarrow \amp 3xy+2y-6x-4 \amp = \amp 3xy+2x-6y-4\\
\amp \Longrightarrow \amp 2y-6x \amp = \amp 2x-6y \\
\amp \Longrightarrow \amp 8y \amp = \amp 8x \\
\amp \Longrightarrow \amp y \amp = \amp x
\end{array}
\end{equation*}
Luego \(f\) es inyectiva.
Ejemplo6.26
Determinemos la epiyectiva de la siguiente función
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
f: \amp \mathbb{R}-\{2\} \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{3\} \\
\amp x \longmapsto \amp \frac{3x+2}{x-2}
\end{array}
\end{equation*}
Para ello sea \(x\in Dom(f)=\mathbb{R}-\{2\}\) y \(y \in Rec(f)\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
\dfrac{3x+2}{x-2}=y \amp \Leftrightarrow \amp 3x+2=yx-2y \\
\amp \Leftrightarrow \amp 3x-yx=-2y-2 \\
\amp \Leftrightarrow \amp x(3-y)=-2y-2; y \neq 3 \\
\amp \Leftrightarrow \amp x=\dfrac{2y+2}{y-3}
\end{array}
\end{equation*}
Además \(x\neq 2\text{,}\)
\begin{equation*}
\dfrac{2y+2}{y-3}=2 \Leftrightarrow 2=-6
\end{equation*}
Así tenemos que \(Rec(f)= \mathbb{R}-\{3\}\) y la función inversa es
\begin{equation*}
\begin{array}{lrl}
f^{-1}: \amp \mathbb{R}-\{3\} \longrightarrow \amp \mathbb{R}-\{2\} \\
\amp y \longmapsto \amp \frac{2y+2}{y-3}
\end{array}
\end{equation*}
Subsección6.7Ejercicios Funciones Reales
¶-
Determinar en cada caso, cual gráfico corresponde a una función
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{x+2}{|x|+1}% \end{array} \end{equation*}Evaluar la función en:
PistaNote que
\begin{equation*} f(\sqrt{2})= \frac{\sqrt{2}+ 2}{|\sqrt{2}|+1}= \frac{\sqrt{2}+ 2}{\sqrt{2}+1} =\frac{(\sqrt{2}+ 2)(\sqrt{2}-1)}{1}=\sqrt{2}. \end{equation*}- \(f(4)\)
- \(f(f(1))\)
- \(f(\sqrt{2})\)
- \(f(\sqrt{2}-3)\)
- \(f(z+1)\)
- \(f(x-2)\)
-
Dada la función
\begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{|1-x|+4}{3} \end{array} \end{equation*}Determinar los siguientes valores:
- \(f(-2)\)
- \(f(\sqrt{2})\)
- \(f(f(-1))\)
- \(f(f(f(-1)))\)
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{|2-x|+4}{3} \end{array} \end{equation*}Determinar los siguientes valores:
- \(f(-2)\)
- \(f(\sqrt{2})\)
- \(f(f(1))\)
- \(f(f(f(1)))\)
-
Determinar \(A\subset\mathbb{R}\text{,}\) “mayor posible” de modo que \(f\) sea una función
PistaNote que, para que \(f\) sea función, la expresión \(2x+3\) no puede ser negativa,
\begin{equation*} 2x+3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{3}{2},\hspace{1cm} A=Dom f= ........ \end{equation*}para que \(g\) sea función, la expresión \(|x|-1\) no puede ser cero.
\begin{equation*} |x|-1 \neq 0 \Leftrightarrow |x| \neq 1,\hspace{1cm} A=Dom g= ........ \end{equation*}- \begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc} f: \amp A\subset\mathbb{R} \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \mapsto \amp \sqrt{2x+3} \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc} g: \amp A\subset\mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{x+2}{|x|-1} \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc} h: \amp A\subset\mathbb{R} \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \mapsto \amp \frac{x}{x^2-3}% \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc}% k: \amp A\subset\mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp \frac{1}{x^2+3x-4} \end{array} \end{equation*}
- \begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc}% l: \amp A\subset\mathbb{R} \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \mapsto \amp \frac{\sqrt{x}}{x+3} \end{array} \end{equation*}
-
Determinar \(A\subseteq\mathbb{R}\) lo “mayor posible”, de modo que \(f\) sea una función
\begin{equation*} \begin{array}[c]{cccc} f: \amp A\subseteq\mathbb{R} \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \mapsto \amp \sqrt{\frac{1}{x}-3}% \end{array} \end{equation*} -
Determinar \(A\subseteq\mathbb{R}\) lo “mayor posible”, de modo que \(f\) sea una función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp A\subseteq\mathbb{R} \amp \rightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \mapsto \amp \sqrt{\frac{1}{x}-1}% \end{array} \end{equation*} -
Considere las siguientes funciones
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \leadsto \amp f(x)=4-x \end{array} \hspace{2cm} \begin{array} [c]{cccc}% g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \leadsto \amp g(x)=-x^{2}+1 \end{array} \end{equation*}Calcular los valores
- \(g(f(4))\)
- \(f(g(4))\)
- \(f(g(x))\)
- \(g(f(x))\)
- \(f(f(x))\)
- \(g(g(x))\)
-
Dadas las funciones:
\begin{equation*} \begin{array}{cccl} g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longrightarrow \amp x+2 \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longrightarrow \amp x^2-3x \end{array} \end{equation*}Determinar el valor, en cada caso
PistaNote que \(g(1)=1+2= 3\) y \(f(3)=9-9=0\text{,}\) luego tenemos
\begin{equation*} f(g(1))=f(3)=0. \end{equation*}- \(f(g(1))\)
- \(g(f(2)) \)
- \(f(g(x))\)
- \(g(f(x))\)
-
Dadas las funciones:
\begin{equation*} \begin{array}{cccl} g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longrightarrow \amp x-2 \end{array} \hspace{2cm} \begin{array}{cccl} f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longrightarrow \amp x^2+3x \end{array} \end{equation*}Determinar el valor, en cada caso
- \(f(g(1))\)
- \(g(f(2)) \)
- \(f(g(x))\)
- \(g(f(x))\)
-
Dada las funciones en su dominio máximo
\begin{equation*} f(x)=2x+1;\qquad g(x)=2-3x \end{equation*}entonces:
Determine si la afirmación son verdaderas o falsas
- \(f(x-1)=2x\) .......................
- \(f(2x)=4x^{2}+1\) .......................
- \(f(g(x))=-3x+5\) .......................
- \(g(f(x-2)+2)=1-6x\text{......................}\)
-
Sea \(g\) una función de \({\mathbb{R}}\) en \({\mathbb{R}}\) definida por:
\begin{equation*} \begin{array}{cccl} g: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longrightarrow \amp g(x)=\left \{ \begin{array}{cc} 3x+7 \amp x \leq 1 \\ \sqrt{x}-1 \amp x > 1 \end{array} \right. \end{array} \end{equation*}Determinar el valor
PistaNote que \(-1 \leq 1\text{,}\) luego \(g(-1)=3*(-1)+7= 4\)
Para el otro caso \(4 \gt 1\text{,}\) por ello \(g(2)=\sqrt{4}-1=1\)
- \(g(-1)\)
- \(g(4)\)
- \(g(0)\)
- \(g(2)\)
- \(g(g(-3))\)
- \(g(g(9))\)
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 2x+1% \end{array} \end{equation*}Calcular los valores de:
PistaNote que \begin{eqnarray*} \overset{7}{\underset{n=2}{\sum}} f(n)\amp =\amp f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)\\ \amp =\amp 5+7+9+11+13+15= 60. \end{eqnarray*}
- \(\overset{7}{\underset{n=2}{\sum}} f(n)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} (f(n)+2)\)
- \(\overset{6}{\underset{n=0}{\sum}} ( f(n))^2\)
- \(\overset{4}{\underset{n=0}{\sum}} f(n-2)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} f_n\)
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp x^2-x% \end{array} \end{equation*}Calcular los valores de:
- \(\overset{7}{\underset{n=2}{\sum}} f(n)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} (f(n)+2)\)
- \(\overset{6}{\underset{n=0}{\sum}} ( f(n))^2\)
- \(\overset{4}{\underset{n=0}{\sum}} f(n-2)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} f_n\)
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 5x-6% \end{array} \end{equation*}Calcular los valores de:
- \(\overset{7}{\underset{n=1}{\sum}} f(n)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} (f(n)-4)\)
- \(\overset{4}{\underset{n=0}{\sum}} ( f(n))^2\)
- \(\overset{6 }{\underset{n=0}{\sum}} f(n+4)\)
-
Dada la función
\begin{equation*} % \begin{array}[c]{cccc}% f: \amp \mathbb{R} \amp \longrightarrow \amp \mathbb{R}\\ \amp x \amp \longmapsto \amp 5x-7% \end{array} \end{equation*}Calcular los valores de:
- \(\overset{7}{\underset{n=1}{\sum}} f(n)\)
- \(\overset{5}{\underset{n=1}{\sum}} (f(n)-3)\)
- \(\overset{4}{\underset{n=0}{\sum}} ( f(n))^2\)
- \(\overset{6 }{\underset{n=0}{\sum}} f(n+3)\)