En esta sección se organiza las principales propiedades de los números reales relacionadas con la desigualdad, de otro modo el orden compatible con la operación de los Números reales
Existe de un subconjunto de \(\mathbb{R}\) el cual sera denotado por \(\mathbb{R}^+\text{.}\) Los elementos de este subconjunto se llaman números reales positivos y se caracterizan por los siguientes axiomas:
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que \(a\) es mayor que \(b\) ó \(b\) es menor que \(a\) si y sólo si
este hecho se anota como
Se dice que \(a\) es mayor o igual que \(b\) o bien que \(b\) es menor o igual que \(a\) si y sólo si \(a\) es mayor que \(b\) o \(a\) es igual a \(b\text{,}\) es decir,
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\)
Debemos tener presente
La relación \(a\leq b\text{,}\) para \(a,b\in\mathbb{R}\) es una relación de orden total.
Pues se verifican:
Resolver \(2x+3 \leq 5x-7\)
La ecuación tiene restricción todo los reales
Considerando la restricción obtenemos
Resolver la inecuación
El conjunto restricción de la ecuación es \(\mathbb{R}-\{1\}\)
Sean \(a,b\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}\) entonces tenemos que
Resolver
La ecuación tiene restricciones dadas por:
La restricción es \(\mathcal{R}= [3, \infty [\text{.}\) Para aplicar la propiedad despejamos
Teniendo a vista la restricción, volvemos aplicar la propiedad
Calculando el discriminante \(\bigtriangleup = 64>0\text{,}\) luego las soluciones están dada por
Considerando la restricción obtenemos
Sean \(a,b \in \mathbb{R}\)
La propiedad anterior también es válida si reemplazamos \(> \lt \) por \(\geq, \leq\) respectivamente.
Determinar el conjunto solución de la inecuación
Aquí \(\mathcal{R}=\{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,x+5\neq 0\}=\mathbb{R}-\{-5\}\text{,}\) ahora bien notando que el signo de \(a\) y \(a^{-1}\) es el mismo, obtenemos que:
Por lo tanto
Resolver
La ecuación tiene restricción dada por:
Como \(\sqrt{3x+1} \geq 0 \text{,}\) luego \(x-1\geq 0\text{,}\) es decir \(x \geq 1\text{,}\) ahora podemos aplicar la propiedad
Para el análisis final de
usaremos una tabla resumen
\(]-\infty,0[\)
\(0\)
\(]0,5[\)
\(5\)
\(]5,\infty[\)
\(x\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(+\)
\(x-5\)
\(-\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(x(x-5)\)
\(+\)
\(0\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
Considerando la restricción obtenemos
Resolver la inecuación
La restricciones son \(x+2 \neq 0 \ \wedge\ x-1 \neq 0\) luego tenemos el conjunto de restricción es
La resolución del problema lo tenemos
Para concluir el desarrollo usaremos una tabla
\(]-\infty,-2[ \)
\(-2\)
\(]-2,0[\)
\(0\)
\(]0,1[\)
\(1\)
\(]1, \infty[\)
\(3x\)
\(-\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(+\)
\(x-1\)
\(-\)
\(-\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(x+2\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(+\)
\(+\)
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x-1)}\)
\(-\)
\(\not \exists\)
\(+\)
\(0\)
\(-\)
\(\not \exists\)
\(+\)
así tenemos que
Resolver la inecuación
La restricciones son \(x-3 \geq 0 \ \wedge\ 2x+1 \geq 0\text{,}\) es decir, \(x \geq 3 \ \wedge\ x \geq -\frac{1}{2}\text{,}\) luego tenemos el conjunto de restricción es
Para poder elevar al cuadrado, debemos tener seguridad que los términos son no negativos
Usando la restricción tenemos que
Por lo cual obtenemos que,
esta desigualdad se cumple siempre.
Así el conjunto solución es
Recuerde que si el discriminate es no negativo entonces el polinomio se puede factorizar
Resolver las siguientes inecuaciones
Tenemos que \(\bigtriangleup=-24 \lt 0; a=1\gt 0\text{.}\) Usando propiedad anterior tenemos
Resolver las siguientes inecuaciones
Tenemos que \(\bigtriangleup=-20 \lt 0; a=2\gt 0\text{.}\) Usando propiedad anterior tenemos
Resolver las siguientes inecuaciones
Tenemos que \(\bigtriangleup=-12 \lt 0; a=-1\lt 0\text{.}\) Usando propiedad anterior tenemos
Resolver las siguientes inecuaciones
Tenemos que \(\bigtriangleup=-11 \lt 0; a=-1 \lt 0\text{.}\) Usando propiedad anterior tenemos
Resolver la inecuación
La restricciones son \(x+1 \neq 0 \ \wedge\ x-1 \neq 0\) luego tenemos el conjunto de restricción es
La resolución del problema lo tenemos
Como \(\bigtriangleup(x^2-2x+3)=4-12=-8 \lt 0; a=1 \gt 0\text{,}\) luego tenemos que
Para concluir el desarrollo usaremos una tabla
\(]-\infty,-1[\)
\(-1\)
\(]-1,1[\)
\(1\)
\(]1,\infty[\)
\(x+1\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(+\)
\(x-1\)
\(-\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(x^2-2x+3\)
\(+\)
\(+\)
\(+\)
\(\dfrac{ x^2-2x+3}{(x+1)(x-1)}\)
\(+\)
\(\not \exists\)
\(-\)
\(\not \exists\)
\(+\)
así tenemos que \(S=]-1,1[ \text{.}\)
Sea \(x\in \mathbb{R}\) se define el valor absoluto de \(x\) como
\(\sqrt{x^2}=|x|\quad \forall x\in \mathbb{R}.\)
Determinar los siguientes valores
Sean \(x,y\in \mathbb{R}, a\in\mathbb{R}^+_0 \) entonces:
Resolver \(|x-3|=\sqrt{3}-1\)
Como \(\sqrt{3}-1>0\text{,}\) de la propiedad tenemos que
Luego el conjunto solución es:
Resolver \(||x-1|-3|=5\)
De la proposición tenemos que
Como \(0\leq |x-1|=-2\lt 0\) es una contradicción, luego continuamos con la otra igualdad
Luego el conjunto solución es:
Resolver \(|2x-7|-|x|=2\)
Despejando tenemos
tenemos que
Primer Caso \(|x|=2x-9\text{,}\) como \(0\leq |x|=2x-9\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq \frac{9}{2}\) y ahora usamos la propiedad
Luego tenemos, \(S_1=\left\{9 \right\} \)
Segundo Caso \(|x|=-1-2x\)
Como \(0\leq |x-1|=-1-2x\text{,}\) luego tenemos que \(x\geq -\frac{1}{2}\) y ahora usamos la propiedad
Luego tenemos
Sean \(x,y\in \mathbb{R}\) entonces:
Resolver la inecuación \(|x|\lt 2\)
Aplicando la propiedad anterior tenemos
luego el conjunto solución es \(\mathcal{S}=]-2,2[.\)
Determinar el conjunto solución de la inecuación
De acuerdo al teorema precedente se tiene que:
luego el conjunto solución de la inecuación esta dado por
Determinar el conjunto solución de la inecuación
Para ello, consideremos la siguiente tabla
\(]-\infty,1[\)
\(]1,2[\)
\(]2,3[\)
\(]3,\infty[\)
\(x-1\)
\(- \)
\(+ \)
\(+ \)
\(+ \)
\(x-2\)
\(- \)
\(- \)
\(+ \)
\(+ \)
\(x-3\)
\(- \)
\(- \)
\(- \)
\(+ \)
Esto nos sugiere estudiar los siguientes casos:
1 Caso Sea \(x\in ]-\infty,1] \text{,}\) reemplazando obtenemos
Así la solución en este caso es
2 Caso. Sea \(x\in [1,2] \text{,}\) reemplazando obtenemos
Así la solución en este caso es
3 Caso. Sea \(x\in [2,3] \text{,}\) reemplazando obtenemos
Así la solución en este caso es
4 Caso. Sea \(x\in [3,\infty[ \text{,}\) reemplazando obtenemos
Así la solución en este caso es
Tenemos entonces que la solución de la inecuación es
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \emptyset\) y \(r\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que
Determine las cotas superiores e inferiores de \(A= ]1,3] \)
El conjunto de las cotas superiores de \(A\) es \([3, \infty[ \) y el conjunto de las cotas inferiores de \(A\) es \(]-\infty, 1]\)
Determine las cotas superiores e inferiores de \(B = ]1,3]\cup [5,7[ \)
El conjunto de las cotas superiores de \(B\) es \([7, \infty[ \) y el conjunto de las cotas inferiores de \(B\) es \(]-\infty, 1]\)
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \emptyset\) y \(r\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que
Determine si existe, el máximo y mínimo de \(A= [1,3[; \qquad B=]1,3]\cup [5,7]\)
Sea \(A=\{x\in \mathbb{R}\,\,|\,\,|x-3|\leq \sqrt{2}\}\text{.}\) Determine (si existe) el máximo y el mínimo del conjunto \(A\text{.}\)
Notemos que
De este modo tenemos que el máximo de \(A\) es \(\sqrt{2}+3\) y el mínimo es \(\sqrt{2}+3\)
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}\) tal que \(A\neq \emptyset\) y \(r\in \mathbb{R}\text{.}\) Se dice que
Determine si existe, el máximo, el supremo,ínfimo y mínimo de
