Psico Cuerpo de los Números Reales

Sección4Cuerpo de los Números Reales

Presentaremos el cuerpo de los Reales, y con ello revisaremos las principales propiedades que destacan en este conjunto, entre ellas que representa toda las medidas posibles de longitud.

Subsección4.1Axiomas

Existe un conjunto que denotaremos por $\mathbb{R}$ y cuyos elementos serán llamados números reales, en el cual está definida la operación suma $(+)$ que satisfacen las siguientes propiedades:

$0,1 \in \mathbb{R},\,\,0\neq 1.$
Clausura: Si $a,b\in \mathbb{R}\text{,}$ entonces $a+b\in \mathbb{R}.$ único
Asociatividad: Para todo $a,b,c\in \mathbb{R}\text{,}$ se tiene que
\begin{equation*} (a+b)+c=a+(b+c). \end{equation*}
Existencia de neutro: Existe $0\in \mathbb{R}\text{,}$ tal que para todo $a\in \mathbb{R},$
\begin{equation*} 0+a=a+0=a. \end{equation*}
Existencia de elemento inverso: Para todo $a\in \mathbb{R}\text{,}$ existe $(-a)\in \mathbb{R}$ tal que
\begin{equation*} a+(-a)=(-a)+a=0. \end{equation*}
Conmutatividad: Para todo $a,b\in \mathbb{R}, $
\begin{equation*} a+b=b+a. \end{equation*}

Y el producto $(\cdot)\text{,}$ que satisfacen las siguientes propiedades:

Clausura: Para todo $a,b\in \mathbb{R}\text{,}$ entonces $a\cdot b\in \mathbb{R}.$ único.
Asociatividad: Para todo $a,b,c\in \mathbb{R}\text{,}$ se tiene que
\begin{equation*} (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c). \end{equation*}
Existencia de neutro: Existe $1\in \mathbb{R}\text{,}$ tal que para todo $a\in \mathbb{R}$
\begin{equation*} 1\cdot a=a\cdot 1=a. \end{equation*}
Existencia de elemento inverso: Para todo $a\in \mathbb{R}-\{0 \}\text{,}$ existe $(a^{-1})\in \mathbb{R},$ tal que
\begin{equation*} a\cdot (a^{-1})=(a^{-1})\cdot a=1. \end{equation*}
Conmutatividad: Para todo $a,b\in \mathbb{R},$
\begin{equation*} a\cdot b=b\cdot a. \end{equation*}

Además

Distributividad: Para todo $a,b,c\in \mathbb{R}\text{,}$ se tiene que

\begin{equation*} a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+ (a\cdot c). \end{equation*}

Subsección4.2Propiedades

Teorema4.1

En $\mathbb{R}$ se cumple que:

El neutro aditivo de los números reales es único.
El neutro multiplicativo de los números reales es único.
El inverso aditivo de un número real es único.
El inverso multiplicativo de un número real no nulo es único.

Notación

Debemos tener presente

\begin{equation*} a\cdot b=ab,\text{ con }a,b\in \mathbb{R}. \end{equation*}

\begin{equation*} a\cdot b^{-1}=ab^{-1}=\frac{a}{b}=a:b \end{equation*}

\begin{equation*} a +(-b)=a-b \end{equation*}

\begin{equation*} -a +b=(-a)+b= b+(-a)= b-a \end{equation*}

Observación

Dada una ecuación o un problema de planteo se define el Conjunto Restricción del Problema o de la ecuación, al conjunto de todos los valores en el cual tiene sentido las variables.

Ejemplo4.2

Determine el conjunto restricción de la ecuación

\begin{equation*} \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1} \end{equation*}

Solución1

El conjunto restricción de la ecuación es $\mathbb{R}-\{1\}$

Ejemplo4.3

Reemplazar $a=\frac{-1}{2},b=\frac{1}{3}$ en

\begin{equation*} x=\frac{ab-a}{a+1} \end{equation*}

Solución2

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} x\amp =\amp \frac{ab-a}{a+1} =\frac{\frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{3}-\frac{-1}{2}}{\frac{-1}{2}+1} =\frac{\frac{-1}{6}-\frac{-1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\ \amp =\amp \frac{\frac{-1+3}{6}}{\frac{2-1}{2}}=\frac{2}{6}\cdot \frac{2}{1}\\ x\amp =\amp \frac{2}{3} \end{array} \end{equation*}

Teorema4.4

Sean $a,b\in \mathbb{R}\text{,}$ entonces

$-(a+b)=(-a)+(-b).$
$-(-a)=a.$
$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\quad a\neq 0, b\neq 0.$
$(a^{-1})^{-1}=a.$
$a\cdot 0=0.$
$-(ab)=(-a)b=a(-b).$
$(-a)(-b)=ab.$
$ab=0 \Leftrightarrow (a=0 \vee b=0).$

Ejemplo4.5

Resolver la ecuación

\begin{equation*} \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x+1}=\frac{1}{x-2} \end{equation*}

Solución3

El conjunto restricción de la ecuación es $\mathbb{R}-\{1,-1,2\}$

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x+1}\amp =\amp \frac{1}{x-2} \\ \frac{x+3}{x^2-1}\amp =\amp \frac{1}{x-2} \\ (x+3)(x-2) \amp =\amp x^2-1 \\ x \amp =\amp 5 \end{array} \end{equation*}

El conjunto solución es $S=\{5 \}$

Ejemplo4.6

Resolver la ecuación

\begin{equation*} \frac{2}{x-2}=\frac{x}{x-2} \end{equation*}

Solución4

El conjunto restricción de la ecuación es $\mathbb{R}-\{2\}$

La solución corresponde a

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{2}{x-2} \amp =\amp \frac{x}{x-2} \\ x \amp =\amp 2 \end{array} \end{equation*}

El conjunto solución es $S=\phi$

Subsección4.3Potencia

Definición: Sean $a\in \mathbb{R}$ y $n\in \mathbb{N}\text{.}$ Se define la potencia real de base $a$ y exponente $n$ por:

\begin{equation*} a^n=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n-veces} \end{equation*}

Más precisamente sea $a\in \mathbb{R}^*\text{,}$ se define por recurrencia

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} a^1 \amp =\amp a \\ a^{n+1} \amp =\amp a^na,\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{array} \end{equation*}

Además si $a\not=0 \text{:}$

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} a^0 \amp =\amp 1\\ a^{-n}=(a^{-1})^{n} \amp =\amp \frac{1}{(a)^{n}}=\frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{ n-veces}} \end{array} \end{equation*}

Teorema4.7

Sean $a,b\in \mathbb{R}-\{0\}$ y $n,m\in \mathbb{Z}$ entonces:

$a^{m+n}=a^m a^n.$
$a^nb^n=(ab)^n.$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$
$\frac{a^n}{b^n}=\left ( \frac{a}{b}\right )^n.$
$(a^n)^m=a^{nm}.$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$
$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab +b^2.$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab +b^2).$
$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3.$

Ejemplo4.8

Simplificar completamente, para los valores de $a \in \mathbb{R},$ donde estén bien definida la siguiente expresión:

\begin{equation*} X=\frac{\frac{a}{1-a}+\frac{1-a}{a}}{\frac{1-a}{a}-\frac{a}{1-a}}. \end{equation*}

Solución

Sea $a \in \mathbb{R}$ donde está bien definida la expresión, luego podemos simplificar.

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} X \amp = \amp \frac{\frac{a}{1-a}+\frac{1-a}{a}}{\frac{1-a}{a}-\frac{a}{1-a}} = \frac{\frac{a^2+(1-a)^2}{a(1-a)}}{\frac{(1-a)^2-a^2}{a(1-a)}}\\ \amp = \amp \frac{a^2+(1-a)^2}{a(1-a)}\frac{a(1-a)}{(1-a)^2-a^2} \\ \amp = \amp \frac{a^2+(1-a)^2}{(1-a)^2-a^2} = \frac{2a^2-2a+1}{1-2a}. \end{array} \end{equation*}

Subsección4.4Raíz

Teorema4.9

Dado $a$ un número real positivo y un número natural $n\text{,}$ existe un único $b$ real positivo tal que

\begin{equation*} a=b^n \end{equation*}

Si $a$ un número real negativo y un número natural impar $n\text{,}$ entonces existe un único número real negativo $b$ tal que

\begin{equation*} a=b^n. \end{equation*}

Si $a$ un número real negativo y un número natural par $n\text{,}$ entonces no existe un número real $b$ tal que

\begin{equation*} a=b^n. \end{equation*}

Definición4.10

El único número $b$ de la propiedad anterior se llama raíz n-ésima de $a$ y se denota por

\begin{equation*} b=\sqrt[n]{a}\quad \vee \quad b=a^{\frac{1}{n}}. \end{equation*}

Más aún, si $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}-\{0\}$ se define

\begin{equation*} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\,\,\textrm{con}\,\, a>0 \end{equation*}

Observación:

Si $a>0$ podemos asegurar que

\begin{equation*} a^{\frac{m}{n}}=(a^m)^{\frac{1}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=(\sqrt[n]{a})^m. \end{equation*}

Ejemplo4.11

$\sqrt[3]{-8} =-2$
$\sqrt[3]{27} =3$
$\sqrt[2]{4} =2$

Teorema4.12

Si $a,b\in \mathbb{R}^+, m,p\in \mathbb{Z}$ y $n,q\in \mathbb{Z}-\{0\}$ entonces

\begin{equation*} (ab)^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}b^{\frac{m}{n}}\qquad \sqrt[n]{(ab)^m}=\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{b^m} \end{equation*}

\begin{equation*} ((a)^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}\qquad \sqrt[q]{(\sqrt[n]{a^m})^p}=\sqrt[nq]{(a)^{mp}} \end{equation*}

Ejemplo4.13

Racionalizar $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$

Solución1

Para resolver este problema debemos tener presente

\begin{equation*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{3}-1}\amp=\amp\frac{1}{\sqrt{3}-1}\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ \amp=\amp \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{array} \end{equation*}

Ejemplo4.14

Racionalizar $\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}$

Solución2

\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\amp= \amp \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{\sqrt{2}+1}} \\ \amp= \amp \frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{1} \end{array} \end{equation*}

Definición4.15

Se llama ecuación de segundo grado en la variable $x$ a una expresión del tipo

\begin{equation*} ax^2+bx+c=0\quad \textrm{con}\quad a,b,c\in\mathbb{R},a\neq 0. \end{equation*}

Además se define el discriminante de la ecuación o del polinomio $ax^2+bx+c$ a la expresión

\begin{equation*} \bigtriangleup= b^2-4ac. \end{equation*}

Teorema4.16

El conjunto solución de la ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0\text{,}$ es:

Si $\bigtriangleup \gt 0\text{,}$ entonces la ecuación tiene dos soluciones (o raíces) distintas en $\mathbb{R}$
\begin{equation*} x_1= \frac{-b+\sqrt{\bigtriangleup}}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\bigtriangleup}}{2a}. \end{equation*}
Si $\bigtriangleup = 0\text{,}$ entonces la ecuación tiene dos soluciones (o raíces) iguales en $\mathbb{R}$
\begin{equation*} x_1=x_2=-\frac{b}{2a}. \end{equation*}
Si $\bigtriangleup \gt 0\text{,}$ entonces la ecuación no tiene soluciones (o raíces) en $\mathbb{R}\text{.}$

Ejemplo4.17

Determinar las raíces del polinomio

\begin{equation*} 5x^2+7x-3. \end{equation*}

Solución3

Como $\bigtriangleup=(7)^2+60=109>0\text{,}$ entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, a saber:

\begin{equation*} x_1=\frac{-7+\sqrt{109}}{10},\quad x_2=\frac{-7-\sqrt{109}}{10} \end{equation*}

Ejemplo4.18

Determinar las raíces del polinomio

\begin{equation*} x^2+2\sqrt{3}x+3. \end{equation*}

Solución4

En este caso $\bigtriangleup=(2\sqrt{3})^2-12=0\text{,}$ luego la ecuación tiene una raíz real (dos raíces iguales)

\begin{equation*} x_1=x_2=-\sqrt{3}. \end{equation*}

Subsección4.5Ejercicios Números Reales

Sabiendo que $a=0,\bar{3}$ y $b=-1/2\text{,}$ determinar el valor exacto de

\begin{equation*} x=\frac{2a-b^{2}}{3b-1+b^{3}}% \end{equation*}

expresado como un cociente entre dos números enteros
Sean $a=-\frac{1}{3},b=2,c=1$ entonces el valor de

\begin{equation*} x=\frac{3ab-b^{c}}{b-c}% \end{equation*}

es igual a:
1. $\frac{-5}{6}\text{;}$
2. $\frac{29}{6}\text{;}$
3. $\frac{29}{18}\text{;}$
4. Ninguna de las anteriores.
Evaluar $x= \frac{\sqrt{3}}{4}\text{;}$ $y= \frac{\sqrt{3}}{2}$ en la expresión

\begin{equation*} \left[ \frac{x-y}{x+y} +\frac{x+y}{x-y} \right]\left[ \frac{x^2+y^2}{2xy} +1 \right] \div \frac{x^2+y^2}{xy} \end{equation*}
Distribuir y Reducir términos semejantes
1. $(x+y)^{3}-(x-y)^{3}-2y^{3}$
2. $(2x+3y-z)^{2}-(x-y+z)^{2}$
3. $(a^{-2}+b^{2})(a^{2}-b^{-2})$
4. $(x+b-z)(x-b+z)$
5. $(2a-b-(a+3b))(3a-2b-(-a+b))$
Factorizar
1. $24x^3+30x^2-18x$
2. $k^2-8k-9$
3. $49h^2-28hk+4k^2$
4. $p^2+4p-32$
5. $49x^2-25y^2$
6. $x^2+5x-150$
7. $81k^2-25$
8. $3ux^2-3ux-6u$
9. $64x^2-1$
10. $3a^2x^2-3ax^2-60x^2$
11. $3x^2-3$
12. $2a^2x^2+34a^2x+120a^2$
13. $16x-x^5 $
14. $x^5+9x^4-70x^3$
15. $\frac{5x^2}{4}-\frac{20}{9}$
16. $5m^2+35m-150$
17. $\frac{7}{9} -7a^2x^2$
18. $6m^2-43m-15$
19. $x^4y^4+2x^3y^2+x^2$
20. $7q^2-11q-6$
21. $2t^2-t-15$
22. $2x^3-20x^2+100x$
23. $-7x^2-13x+2$
24. $4+3x-7x^2$
Factorizar
1. $x^6-7x^3-8$
2. $\frac{x^4}{25}-\frac{2x^2}{5} +\frac{1}{9}$
3. $8a^2x-12ax+18x $
4. $6a^2+4a-10$
5. $-3k^2-12k-12 $
6. $6a^2b^2+15ab^2+6b^2 $
7. $a^2-a-2 $
8. $15x^4-11x^2-12$
9. $m(a-b)+(a-b)n$
10. $(a+b-1)(a^2+1)-a^2-1$
11. $x(a+1)-a-1$
12. $(x+y)(n+1)-3(n+1)$
13. $4x(m-n)+n-m$
14. $(m+n)(a-2)+(m-n)(a-2)$
15. $a(n+2)+n+2$
16. $x(a+2)-a-2+3(a+2)$
17. $(a+b)^2-x^2 $
18. $(4p-2q)(x-y)+2q-4p$
19. $am-bm+an-bn$
20. $a^2x^2-3bx^2+a^2y^2-3by^2 $
21. $x^2-a^2+x-a^2x$
22. $3ax-2by-2bx-6a+3ay+4b$
23. $3a-b^2+2b^2x-6ax$
24. $1+a+3ab+3b$
25. $4a^3-1-a^2+4a $
Factorizar
1. $100x^3y^2+50x^2y^2-25x^2y+125xy $
2. $(3x+2)(x+y-z)-(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)$
3. $2x^3-nx^2+2xz^2- nz^2-3ny^2+6xy^2$
4. $3a^2-7b^2x+3ax-7ab^2 $
5. $m^2+2nm+n^2-1 $
6. $6m-9n+21nx-14mx $
7. $a^2+x^2+2ax-4$
8. $4a^2-9x^2+49b^2-30xy-25y^2-28ab$
9. $1-a^2-9n^2-6an$
10. $m^2-x^2+9n^2+6nm-4ax-4a^2$
11. $c^2-a^2+2a-1 $
12. $a^2-16-x^2+36+12a-8x $
13. $x^8-y^8$
14. $16x^4-8x^2y^2+y^4 $
15. $a^5-a^3b^2-a^2b^3+b^5$
16. $x^2+6x+9-a^2+4ab-4b^2$
17. $x^2(x^2-y^2)-(2x-1)(x^2-y^2) $
Suponga que las expresiones siguientes tiene sentido, simplifique al máximo.
1. \begin{equation*} \left( \frac{x-1}{x+1+\frac{2}{x-1}}\right) :\left( \frac{1}{2}-\frac {1}{x+\frac{1}{x}}\right) \end{equation*}
2. \begin{equation*} \left( 1+\dfrac{1}{x}\right) \left( 1-\dfrac{1}{x}\right)^{2} \div \left(x-\dfrac{1}{x}\right) \end{equation*}
3. \begin{equation*} \left( \frac{b}{a^{2}}+\frac{a}{b^{2}}\right)\div\left( \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}}\right) \end{equation*}
4. \begin{equation*} \left(\dfrac{x}{x-a}-\dfrac{a}{a+x}\right)\div\left( x+\dfrac{a^{2}+ax}{x-a}\right) \end{equation*}
5. \begin{equation*} \frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x+1}}{1-\dfrac{1}{x+1}}\div\frac{x^{2}-\dfrac {1}{x}}{x-\dfrac{1}{x}}% \end{equation*}
6. \begin{equation*} \frac{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{a^{2}}{b^{3}}\right) :\left( \dfrac{1}% {a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{a}{b^{2}}\right) }{\left( \dfrac{a+2b}{a+b}+\dfrac{a}% {b}\right) :\left( \dfrac{a+2b}{b}-\dfrac{a}{a+b}\right) }% \end{equation*}
7. \begin{equation*} 1-\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{equation*}
8. \begin{equation*} \dfrac{3a}{\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{a-1}{a^{2}+a+1}} \end{equation*}
9. \begin{equation*} \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2a-2b}-\dfrac{a^{2}-b^{2}}{2(a+b)}+\dfrac {a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}-b^{2}} \end{equation*}
10. \begin{equation*} \dfrac{a^{2}-1}{a^{2}+2-\dfrac{a^{4}+2}{a^{2}-\dfrac{a^{2}-2}{a^{2}+1}}} \end{equation*}
11. \begin{equation*} \dfrac{\left(1+\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2}\right)a^{4}}{(a-b)^{2}+2ab} \end{equation*}
12. \begin{equation*} \dfrac{1+\dfrac{2a}{1+a^{2}}}{2a-\dfrac{2a^{5}+2}{1-a^{2}}} \end{equation*}
13. \begin{equation*} \left( \dfrac{ \frac{1}{b} +\frac{1}{ab}}{ 1 +\frac{1}{ab}} + \dfrac{b+1}{b+\frac{1}{a} }-1\right)\div \left( \dfrac{ 1+\frac{1}{a}}{b +\frac{1}{a}} - \dfrac{ab+a}{ab+1} +1\right) \end{equation*}
14. \begin{equation*} \left( 1- \dfrac{1}{1 + \frac{1}{a}}\right)\div \left(\dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{1-\frac{1}{a} }}\right) \end{equation*}
15. \begin{equation*} \left( \frac{1}{a}- \dfrac{ 1} {a+ \dfrac{1}{b+ \frac{1}{c}}}\right) \cdot \left( b+\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right) \end{equation*}
16. \begin{equation*} \frac{m^3+6m^2n+9mn^2}{2m^2n +7mn^2+3n^3 } \cdot \frac{4m^2-n^2}{8m^2-2mn-n^2}\div \frac{m^3+27n^3}{16m^2+8mn+n^2} \end{equation*}
Considere la expresión

\begin{equation*} \dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x+1}}{x^{3}-1}-\dfrac{\dfrac{x^{2}+1}% {x^{4}-x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}-x^{2}}}{x^{3}+1}=I \end{equation*}
1. Determinar 3 valores distintos para $x\in\mathbb{R},$ de tal modo que $I$ no sea un número real.
2. Simplificar al máximo la expresión $I$
Dada la expresión

\begin{equation*} I=\frac{x+a+\frac{2}{x}}{\frac{5x-1}{2}+1-2x}% \end{equation*}

Complete las siguientes proposiciones de modo que sea verdadero el enunciado
1. La expresión $I$ esta bien definida en .......................
2. La expresión $I$ simplificada es igual a .......................
3. Si $a=0$ el conjunto solución de la ecuación $I=1$ es .......................
4. El conjunto solución de $I=1$ tiene solamente dos soluciones si y solo si $a\in\text{.......................}$
Dada la expresión

\begin{equation*} I=\frac{x+\frac{a}{x+1}}{\frac{x-1}{2}+x-\frac{1}{4}}% \end{equation*}
1. Determine donde la expresión $I$ esta bien definida.
2. Simplificar al máximo la expresión $I$ .
3. Determinar el(los) valor(es) de $x\text{,}$ cuando $I=0$ y $a=-2\text{.}$
Desarrollar de modo que no queden exponente negativos
1. $\left(2ab\left(a^{-2}b^{-2}\sqrt{5}\right)^{-2}-12a^{4}b^{3}(-a)\dfrac{3}{b} ^{-2}\right)^{1/3}$
2. $\dfrac{ \sqrt{a}}{b^{-1/3}} \cdot \dfrac{\sqrt{4}{b} }{ a^{1/6}} \div \dfrac{b^{-1/4} }{ a^{1/4}}$
3. $\dfrac{b }{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{ac}\cdot \dfrac{\sqrt{4}{c`3} }{ \sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{b^{-1}} }{ a^{-1/6}}$
4. $\left[ \dfrac{ \left( a^{2/3}\cdot \sqrt[5]{ab^{1/2}} \cdot \sqrt{a^{-3}b}\right)^{-3}}{a^{-1}\cdot \sqrt{b^3c} \cdot \sqrt{a^{-1/2}}} \right]^{1/4} \div \left[ \dfrac{a^{2}}{ b^{-2}} \right]^{-3/2}$
5. $\sqrt[-3]{\dfrac{\sqrt{a}+a^{-1/2}}{a^{-1}}-(2\sqrt{a})^{2}}$
6. $\left( \dfrac{a^{-1}}{a^{0}+\left( \dfrac{a}{b}\right) ^{-1}}\right)^{-2}-\left( \dfrac{ab^{-1}-b^{0}}{(b^{-1})^{2}}\right)$
7. $\left(\dfrac{1}{b-\sqrt{a}}+\dfrac{1}{b+\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{a^{-2}b^{-1}}{a^{-2}-a^{-1}b^{-2}}\right)$
8. $\left( \dfrac{\sqrt[3]{xy^4}-1}{\sqrt{xy^3}} + \dfrac{\sqrt[6]{xy}}{xy^3}\right) \div\left( \dfrac{\sqrt[3]{xy^7}}{\sqrt[6]{xy}}+ \dfrac{\sqrt[3]{x^2y^5}}{\sqrt{x^3y^7}}\right)$
Resolver las ecuaciones lineales
1. $x+\dfrac{3x+6}{5}=2-\dfrac{6x+3}{8}$
2. $2x+\dfrac{2-3x}{3}=1-\dfrac{2x+4}{5}$
3. $\dfrac{3x+2}{4}+\dfrac{2x+3}{5}=\dfrac{4x+2}{2}-\dfrac{2-x}{3}$
4. $\dfrac{1+x}{x-2}-\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{1}{x+1}.$
5. $\dfrac{1+x}{x-1}-\dfrac{2+x}{x+1}=\dfrac{1}{2x}\text{.}$
6. $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{1}{x+3}\text{.}$
7. $\dfrac{1-x}{x-3}+\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{1}{x+1}$
8. $\dfrac{x+1}{x+a+b}=\dfrac{x-1}{x+a+b}$
9. $\dfrac{x-1}{a-1}+\dfrac{2a^{2}(1-x)}{a^{4}-1}=\dfrac{2x-1}{1-a^{2} }-\dfrac{1-x}{1+a}$
10. $\dfrac{2(x+b)}{(a-b)}-\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a+b}-\dfrac{2-x}{3}$
11. $\dfrac{x+m}{m} -\dfrac{x+n}{n}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}-2 $
Racionalizar
1. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
2. $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$
3. $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$
4. $\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}$
5. $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
6. $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
7. $\dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}$
8. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt {2}}$
9. $\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{3}-1}}$
10. $\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+1}}$
11. $\dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}$
12. $\dfrac{1}{\sqrt{2\sqrt{3}-1}}$
13. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}$
14. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$
15. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt{5}}}$
16. $\dfrac{2}{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}-\sqrt{6}}$
17. $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{8}}$
Racionalizar, para ello suponga que las expresiones están bien definidas.
1. $\dfrac{a-b}{\sqrt{a}}$
2. $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
3. $\dfrac{a+b^{3}}{\sqrt[3]{a}+b}$
4. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+\sqrt[3]{a}}}$
5. $\dfrac{a}{\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a}}}}$
6. $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-5}+\sqrt{x-3}}$
Dadas las expresiones

\begin{equation*} x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\qquad y=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}% \end{equation*}

al racionalizar las expresiones se obtiene
1. $x=\sqrt{2}-1\qquad y=\sqrt{2}-\sqrt{3}.$
2. $x=\sqrt{2}-1\qquad y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
3. $x=1-\sqrt{2}\qquad y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
4. $x=1-\sqrt{2}\qquad y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
5. Ninguna de las anteriores
Dadas las expresiones

\begin{equation*} x=\frac{2}{1-\sqrt{3}}\qquad y=\frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{21}}}% \end{equation*}

al racionalizar las expresiones se obtiene
1. $x=1+\sqrt{3}\qquad y=\sqrt{\sqrt{21}+5}$
2. $x=-1-\sqrt{3}\qquad y=\sqrt{5+\sqrt{21}}(5+\sqrt{21})$
3. $x=1+\sqrt{3}\qquad y=\sqrt{5+\sqrt{21}}(5+\sqrt{21})$
4. $x=-1-\sqrt{3}\qquad y=\sqrt{\sqrt{21}+5}$
5. Ninguna de las anteriores
Dadas las expresiones

\begin{equation*} x=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}\qquad y=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}% \end{equation*}

al racionalizar las expresiones se obtiene
1. $x=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\qquad y=\sqrt{\sqrt{5}-1}$
2. $x=\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\qquad y=\sqrt{\sqrt{5}+1}-1$
3. $x=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\qquad y=\sqrt{\sqrt{5}+1}-1$
4. $x=\sqrt{a}-\sqrt{a+1}\qquad y=\sqrt{\sqrt{5}-1}$
5. Ninguna de las anteriores
Dadas las expresiones

\begin{equation*} x=\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{2a}}\qquad y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}+\sqrt{6}}% \end{equation*}

al racionalizar las expresiones se obtiene
1. $x=\sqrt{2a}-\sqrt{a}\qquad y=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$
2. $x=\sqrt{a}-\sqrt{2a}\qquad y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
3. $x=\sqrt{2a}-\sqrt{a}\qquad y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
4. $x=\sqrt{a}-\sqrt{2a}\qquad y=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$
5. Ninguna de las anteriores
Sean $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1},\quad b=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$ entonces la ecuación $(a+b)x=1$ tiene como solución racionalizada a
\begin{equation*} x=.................... \end{equation*}
Sean $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1},\quad b=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$ entonces la ecuación $ax=b$ tiene como solución racionalizada a
\begin{equation*} x=.................... \end{equation*}
Sean $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1},\quad b=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$ entonces entonces la ecuación $(a+b)x=1$ tiene como solución racionalizada
\begin{equation*} x=.................... \end{equation*}
Usando la formula de la ecuaciones de segundo grado, resolver
1. $x^{2}-7x+10=0$
2. $(x+5)(x-3)+(x+1)(3x+2)=(x+3)^{2}$
3. $(x+1)(x+2)-(2x-1)(x+3)=2 $
4. $(x+1)(x+2)-(3x-1)(x+3)=-2 $
5. $(x-1)(x-2)=(x-1)(2x+1)$
6. $(x+3)(x-1)=(x+3)(x+2)$
7. $(x+3)(2x-1)=(2x+3)(x+2)$
8. $(x+2)^{2}+5(x+2)+6=0$
9. $(1-x)^{3}+(1+x)^{3}=0$
10. $\dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}}{1+\dfrac{x+1}{x-1}}=\dfrac{1}{2}$
11. $x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0$
12. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-2}=1$
13. $x^{2}+3x^{4}-1=0$
14. $\frac{1}{x}+x=(x+1)(x-1)-(x+2)(x+3)$
15. $x^{2}+x\sqrt{2}+1=0$
16. $x^{2}+x\sqrt{3}+1=0$
17. $(1-x)(1+x^{2})=(1+2x)(1+3x^{2})$
18. $\sqrt{x}+x-12=0$
Resolver las siguientes ecuaciones “cuadráticas”
1. $x^{2}+x+1=\dfrac{30}{x^{2}+x}$
2. $\dfrac{4}{x+\sqrt{x}}=x+\sqrt{x}+3$
3. $\dfrac{6}{x-\sqrt{x}}=x-\sqrt{x}+1$
4. $\sqrt{1+x}+\sqrt{x-2}=5$
Resolver

\begin{equation*} \sqrt{\sqrt{x}+3} -\sqrt{\sqrt{x}-3} =\sqrt{2\sqrt{x}} \end{equation*}
Dada la ecuación

\begin{equation*} x^{2}+3x+a=0 \end{equation*}

Determine si la afirmación son verdaderas o falsas
1. Si $a=2$ entonces el conjunto solución es $S=\{-1,-\frac{1}{2}\}$
2. Si $a=3$ entonces el conjunto solución es $S=\phi$
Dada la ecuación

\begin{equation*} x^{2}+4x+a=0 \end{equation*}

Determine si la afirmación son verdaderas o falsas
1. Si $a=5$ entonces el conjunto solución es $S=\phi$
2. Si $a=3$ entonces el conjunto solución es $S=\{-1,-3\}$
Considere la ecuación

\begin{equation*} (a+2)(3a+x)=(x+1)(b-2) \end{equation*}

Determinar, justificando adecuadamente en cada caso, cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1. Si $a=-1,b=1$ entonces el conjunto solución de la ecuación es $\{1\}$
2. Si $a=-1/2,b=-1/3$ entonces el conjunto solución de la ecuación es $\{\frac{1}{46}\}$
Problemas de planteo.
Pista
Recuerde establecer con claridad las variables y las unidades de medida.
1. Tres personas tienen edades tales que en total suman 102 años.
  
  Una de ellas tiene 7 años más que la mas joven y la otra tiene la edad tiene la edad de la suma de las dos anteriores. ¿Qué edad tiene cada una?
2. Se han pagado 3.000 U.F. por una casa y un terreno ¿Cuánto se abonó por cada uno si el terreno cuesta dos terceras partes de la casa?
3. Un comerciante obtiene $ 1605 por la venta de su provisión de naranjas, la cual vendió de la siguiente forma: la mitad a $ 56; la quinta parte de lo queda, $ 55 y el resto, a $ 50 el kilogramo ¿Cuánto kilogramos de naranjas vendió?
4. Un elevador de grano de un puerto tiene dos tubos de salida para el trigo almacenado. Para llenar la bodega de un barco, por un tubo tarda 9 horas, y por el otro tubo tarda 11 horas, ¿En cuánto tiempo se llenará esa bodega si funcionan los dos tubos?
5. Un tren ha de recorrer 200 km. en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en una hora menos la velocidad debía de haber sido 10 kilómetros por hora más. Hallar la velocidad del tren.
6. Un hombre compró cierto número de caballos por 2000 UF. se mueren dos caballos, vendiendo cada uno de los restante a 60 UF más de lo que le costo cada uno, si ganó en total 590 UF ¿Cuántos caballos compró y cuánto le costo cada uno.?
7. Una tripulación emplea 3 horas en remar 16 kilómetros río abajo y regresar. En remar 2 km. río arriba emplea el mismo tiempo que en remar 4 km. río abajo. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.
8. El perímetro de un campo rectangular es 500 metros y su área es de 14400 metros cuadrados. Hallar las longitudes del campo.
9. Una persona convino en trabajar 30 días a condición de que por cada día que trabaja recibe 3000 pesos y por cada día que falte al trabajo se le descuenta 1000 pesos del pago de fin de mes, al final del tiempo la persona recibió un total de $ 38.000. ¿Cuántos días trabajo?
10. Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?
11. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?
Resolver las ecuaciones con valor absoluto
1. $|x+3|=1$
2. $||x+3|-2|=1$
3. $|x+5|=x$
4. $|x+2|+|x-1|=2$
5. $\left| x+1\right| +\left| x\right| =1$
6. $\left| x\right| +\left| x-1\right| =1$
7. $x^{2}+|x|-12=0$
8. $x^{2}+3|x+3|=1-6x$
9. $|x^{2}-3x-4|=5$
El conjunto solución de la ecuación

\begin{equation*} ||\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}|-\frac{1}{3}|=1 \end{equation*}

es:
1. $S=\{5,1,-7,-11\}$
2. $S=\{5,-11\}$
3. $S=\{5,1\}$
4. $S=\{5,-7\}$
5. Ninguna de las anteriores