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\( \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

Sección3Números Racionales

Los números racionales, se construyen de manera natural, como la razón de números naturales, su principal uso lo encontramos en la repartición igualitaria entre personas.

Número Racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros

\begin{equation*} \mathbb{Q}= \left\{\left.\frac{a}{b} \ \right| \ a,b\in \mathbb{Z},\ b\neq 0\ \right\} \end{equation*}

La fracción \(\frac{a}{b}\) significa que la cantidad \(a\) se dividió en \(b\) partes iguales.

En la fracción, el numerador es representado por \(a\)

En la fracción, el denominador es representado por \(b\) y éste no puede ser cero.

Dos fracciones se dicen equivalente, si representan el mismo número o cantidad.

Ejemplos
\begin{equation*} \frac{-3}{-5}= \frac{3}{5}; \quad \frac{-3}{5}= -\frac{3}{5}= \frac{3}{-5}; \quad \frac{1}{2}= \frac{2}{4}= \frac{3}{6}. \end{equation*}

Si el numerador es menor que el denominador, la fracción se dice propia;

Si el denominador es menor que el numerador, la fracción se dice impropia.

Un abreviatura de los números racionales, son los llamados números mixtos

\begin{equation*} \frac{Ad+c}{d}=A+ \frac{c}{d}=: A\frac{c}{d} \end{equation*}
Ejemplos

Transformar \(\frac{43}{4}\) a número mixto

\begin{equation*} \begin{array}[t]{rcccl} 43 \amp : \amp 4 \amp =\amp10 \\ 3 \amp \amp \amp \end{array}; \qquad 43= 4\times 10 + 3 \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{43}{4}= 10+ \frac{3}{4}=10\frac{3}{4} \end{equation*}

Subsección3.1Uso de las Variables

Cuidados Necesarios con el uso de Variables, los números se representan con variables \(a,b,c\text{,}\)

Las notaciones habituales

\begin{equation*} a+b;\quad ab;\quad a^c \end{equation*}

indican “suma”, “producto”, “Potencia” o “Raíz”

Pero la precaución debe estar en el reemplazo, ya que al sustituirlo o reemplazarlo tenemos que tener presente los paréntesis, es decir,

\begin{equation*} (a)+(b);\quad (a)(b);\quad (a)^{(c)} \end{equation*}
Ejemplos

Sea \(a=-1, \ b=2,\ c=-3 \text{.}\) Determine el valor de

\begin{equation*} x= \frac{\frac{a}{c}+c}{a^b-c} \end{equation*}
\begin{equation*} x= \frac{\frac{-1}{-3}+(-3)}{(-1)^2-(-3)}= \frac{\frac{1}{3}-3}{1+3}= \frac{-\frac{8}{3}}{4} =-\frac{2}{3}. \end{equation*}

Se dice que una fracción \(\frac{a}{b} \) es irreducible si los números enteros son primos relativos.

Simplificar significa determinar otra fracción equivalente la cual es irreducible.

Subsección3.2Representación Decimal

Los números racionales pueden representarse en forma decimal.

Ejemplos
\begin{equation*} \frac{43}{4}= 10,75; \quad \frac{3}{5}= 0,6;\quad \frac{3}{25}= 0,12. \end{equation*}

La expresión decimal, no es única y puede contener una cantidad finita de cifras o infinitas cifras pero hay una ``parte'' que se repite en forma periódicamente

Ejemplos
\begin{equation*} \frac{1}{3}= 0,\overline{3}; \quad \frac{43}{15}= 2,8\overline{6}; \quad \frac{4}{21}= 0,\overline{190476}. \end{equation*}

Un número decimal no periódico puede expresarse como fracción, del siguiente modo. Consideremos el número decimal finito

\begin{equation*} n= a_1a_2\cdots a_r,b_1b_2\cdots b_s \end{equation*}

donde \(a_i,b_j\) representan dígitos, luego

\begin{equation*} n= \frac{a_1\cdots a_rb_1\cdots b_s}{10^s} \end{equation*}
Ejemplos
\begin{equation*} 0,3=\frac{03}{10^1}=\frac{3}{10};\quad 2,8=\frac{28}{10}= \frac{14}{5};\quad 12,9= \frac{129}{10} \end{equation*}

Un Número Decimal Periódico puede expresarse como fracción, del siguiente modo, Consideremos el número decimal periódico,

\begin{equation*} n= a_1a_2\cdots a_r,b_1b_2\cdots b_s \overline{c_1c_2\cdots c_t} \end{equation*}

donde \(a_i,b_j,c_k \) representan dígitos, con \(t\geq 1\text{,}\) luego

\begin{equation*} n= \frac{a_1\cdots a_rb_1\cdots b_sc_1\cdots c_t-a_1\cdots a_rb_1\cdots b_s }{10^s(10^t-1)} \end{equation*}
Ejemplos
\begin{equation*} \begin{array}{rclcrcl} 0,\overline{3}\amp=\amp\frac{03-0}{10^0(10^1-1)}=\frac{3}{9}; \amp \amp 2,8\overline{6}\amp=\amp\frac{286-28}{10(10-1)}= \frac{258}{90};\\ \\ 0,\overline{9}\amp=\amp \frac{9}{10-1}=1 \end{array} \end{equation*}
\begin{equation*} 21,191\overline{76}=\frac{2119176-21191}{10^3(10^2-1)}=\frac{2097985}{99000}; \end{equation*}

Debemos tener presente que la expresión fraccionaria no es única y del mismo modo, su expresión decimal de un números racional

\begin{equation*} \frac{3}{3}=\frac{9}{9}= 0,\overline{9}=1 \end{equation*}

Subsección3.3Aproximación o Redondear de un Número Decimal.

Redondear un número en ciertas cifras decimales, consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que es la mejor o el más próximo al número dado.

Ejemplos

Redondear a dos decimales \(1,3456\)

  1. \(|1,3456 - 1,34|= 0,0056\)
  2. \(|1,3456 - 1,35|= 0,0044\)

La respuesta de redondear a dos decimales \(1,3456\) es \(1,35\text{.}\)

Los números racionales están ordenado, es decir, se pueden ordenar en la recta numérica

En general dado dos números racionales, uno de ellos es mayor o igual que el otro y entre ambos siempre existe otro número racional.

Si \(a,b,c,d\) son enteros positivos

\begin{equation*} \frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \text{ si y sólo si } ad \leq cb \end{equation*}

Además, si \(\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \) entonces

\begin{equation*} \frac{a}{b} \leq\frac{1}{2}\left( \frac{a}{b}+ \frac{c}{d}\right) \leq \frac{c}{d} \end{equation*}
Ejemplos

Dado los números racionales \(\frac{1}{3}; \ \frac{4}{11}; \ \frac{3}{13}\text{,}\) luego los podemos ordenar e intercalar números racionales

\begin{equation*} \frac{1}{3}\leq \frac{4}{11} \text{ y } \frac{1}{3}\leq \frac{23}{66}\leq \frac{4}{11}. \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{3}{13}\leq \frac{1}{3} \text{ y } \frac{3}{13}\leq \frac{11}{39}\leq \frac{1}{3}. \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{3}{13}\leq \frac{4}{11} \text{ y } \frac{3}{13}\leq \frac{1}{3}\leq \frac{4}{11}. \end{equation*}

Subsección3.4Algebra de Números Racionales

\begin{equation*} \begin{array}{rclcrcl} \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \amp= \amp\dfrac{ad+bc}{bd} \amp\qquad \amp \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} \amp= \amp \dfrac{ad-bc}{bd}\\ \\ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} \amp= \amp\dfrac{ac}{bd} \amp\amp \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} \amp= \amp \dfrac{ad}{bc} \end{array} \end{equation*}
  1. \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\)
  2. \(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\)

Subsección3.5Representación Gráfica del Producto y Cociente

La suma y resta corresponde a yuxtaponer un segmento después del otro, ahora observemos que pasa con el producto y el cociente.

Aplicando Thales se tiene se obtiene el cociente

\begin{equation*} x= \frac{x}{1}= \frac{a}{b} \end{equation*}

Aplicando Thales se tiene se obtiene el producto

\begin{equation*} x= ab \end{equation*}

Subsección3.6Ejercicios de Números Racionales

  1. Simplificar

    1. \(\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}-\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\)
    2. \(\frac{12}{5}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}\)
    3. \(2\times \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\)
    4. \(\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\)
    5. \(\frac{2}{3}\times\frac{4}{7}-\frac{1}{3} + \frac{2}{5}\)
    6. \(\frac{2}{3}\div \frac{4}{7}-\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\)
    7. \(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\times \frac{3}{2}\)
    8. \(\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}-\frac{1}{2}\)
    9. \(\frac{12}{5}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}\)
    10. \(\frac{2}{3}\times \frac{4}{7}-\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\)
    11. \(\dfrac{\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{2}\times(-1)}\)
    12. \(1- \dfrac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}\)
    13. \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\div \left(\frac{2}{3}\right)^3\)
    14. \(\left[\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\right)- 13\left(\frac{2}{3}-1\right)^2\right]\div \frac{10}{3} \)

  2. Calcular los siguientes valores

    1. \(0,7+ 0,5+1,2\times 0,4\)
    2. \(0,4\div 0,2 + 1,3\times 0,5\)
    3. \(2,5+ 1,07\times 0,2\)
    4. \(2,5\times 0,6-1,04\)
    5. \(1,2+0,4\div(1,5\times 0,3)\)
    6. \(1,2\div 0,4-1,5\times 0,3\)
    7. \((1,3+ 0,4)\times 0,3-0,5\)
    8. \(0,5+1,2\times 0,8\)
    9. \(0,7+ 0,5+1,2\times 0,3\)
    10. \(0,5\div 0,2 + 1,3\times 0,5\)
    11. \(1+\dfrac{0,4}{1,5\times 0,3}\)
    12. \(1+ 0,4\times 0,3\)
    13. \((0,4)^2\div (0,5)^3 \)
    14. \(1+\frac{1}{1-\frac{1}{0,5+\frac{1}{0,4}}} \)

  3. Calcular los siguientes valores y exprese en forma decimal

    1. \(1,\overline{3}+ 0,4\)
    2. \(1,\overline{32}+ 0,14\)
    3. \(2,6\overline{5}+ 1,\overline{3}\)
    4. \(2,7\overline{5}- 1,\overline{3}\)
    5. \(2,\overline{5} \times 1,\overline{3}\)
    6. \(2,\overline{5} \div 1,\overline{3}\)
    7. \(2,\overline{6}+ 1,\overline{5}\times 1,2\overline{3}\)
    8. \(2,\overline{6}- 1,\overline{3}\div 1,2\overline{3}\)
    9. \(2,\overline{5}-3,\overline{6}- 1,3\overline{3}\)
    10. \(2,\overline{6}- 1,\overline{3}\times 1,3\overline{3}\)
    11. \(2,5\overline{231}\div 0,\overline{5}+ 1,2\overline{43}\)
    12. \(2,5\overline{231}\div 0,\overline{5}+ 1,2\overline{43} \times 1,2\overline{43}\)
    13. \(2,5\overline{231}\div 0,\overline{5}+ 1,2\overline{43}\)
    14. \(\frac{1}{0,5+ 1,\overline{3}}+ 2,\overline{5}\div 0,4\)

  4. Calcular los siguientes valores

    1. \(2,\overline{5}\times 1,\overline{3} - 0,2 \)
    2. \(2,\overline{5}\div 1,\overline{3} + 0,2\)
    3. \(0,7+ 2,\overline{6}\times 1,2\overline{3}\)
    4. \(2,\overline{2}+ 1,2\overline{4}\times1,2\)
    5. \(2,\overline{231}+ 1,2\overline{43}\times1,2\)
    6. \(2,\overline{2}+ 1,\overline{24}\times1,2\)
    7. \(1,4- 1,\overline{3}\times 0,4\)
    8. \(2,3\times2,\overline{6}-0,\overline{3}\)
    9. \(0,7+ 2,\overline{6}\times 1,2\overline{3}\)
    10. \(2,\overline{2}+ 1,2\overline{4}\times1,2\)
    11. \(2,1\times 2,\overline{4}-0,\overline{7}\)

  5. Redondear a 2 y 3 decimales los siguientes racionales

    1. \(2,\overline{6}+ 1,2\overline{8}\)
    2. \(2,\overline{6}- 1,2\overline{3}\)
    3. \(\frac{35}{21}+ \frac{2}{5}\)
    4. \(\frac{2}{3}-\frac{3}{10}\)
    5. \(2,\overline{123}+ 1,2\overline{13}\times\frac{2}{5}\)
    6. \(2,\overline{312}+ 1,2\overline{21}\times\frac{4}{5}\)
    7. \(2,\overline{231}+ 1,2\overline{43}\times\frac{2}{5}\)
    8. \(1,35+ 0,423\times 0,2\)
    9. \(2,\overline{123}+ 1,3\overline{43}\times\frac{2}{5}\)
    10. \(2,\overline{231}+ 1,3\overline{31}\times\frac{1}{5}\)
    11. \(2,\overline{5}+ 1,\overline{8}\)

  6. Ordenar de menor a mayor en la recta numérica siguientes números racionales.

    Pista

    Para ordenar primero agrupe los negativos y luego los positivos, y después aplique las reglas

    1. \(2,56\text{;}\) \(-\frac{7}{3}\text{;}\) \(2,\overline{56}\text{;}\) \(-2,66\text{.}\)
    2. \(-\frac{35}{15}\text{;}\) \(2,4\overline{36}\text{;}\) \(2,4\overline{357}\text{;}\) \(-2,66\text{.}\)
    3. \(-2,2\overline{6}\text{;}\) \(-2,2\overline{63}\text{;}\) \(\frac{5}{3}\text{;}\) \(1,66\text{.}\)
    4. \(2,\overline{231}\text{;}\) \(2,2\overline{43}\text{;}\) \(-\frac{14}{3}\text{;}\) \(-4,66\text{.}\)
    5. \(2,5\text{;}\) \(-\frac{5}{3}\text{;}\) \(2,\overline{5}\text{;}\) \(-1,66\text{.}\)
    6. \(-\frac{35}{21}\text{;}\) \(2,4\overline{36}\text{;}\) \(2,1\overline{43}\text{;}\) \(-1,66\text{.}\)
    7. \(2,5\text{;}\) \(-\frac{17}{3}\text{;}\) \(2,5\overline{4}\text{;}\) \(-5,66\text{.}\)
    8. \(-\frac{34}{6}\text{;}\) \(1,2\overline{43}\text{;}\) \(1,243\text{;}\) \(-5,66\text{.}\)
    9. \(2,\overline{16}\text{;}\) \(-1,2\overline{8}\text{;}\) \(-1,28\text{;}\) \(2,1\overline{6}\text{.}\)
    10. \(-2,\overline{6}\text{;}\) \(1,2\overline{3}\text{;}\) \(\frac{5}{3}\text{;}\) \(1,66\text{.}\)
    11. \(2,\overline{231}\text{;}\) \(1,2\overline{43}\text{;}\) \(-\frac{14}{3}\text{;}\) \(4,33\text{.}\)

  7. Resolver las siguientes ecuaciones racionales

    Pista

    Recuerde que debe transformar a un tipo de notación para realizar las operaciones

    1. \(15x-23=4x+17\)
    2. \(4(3x-5)-(2x+1)= 7x+1 \)
    3. \(2,\overline{23}x+ 1,2= \frac{3}{4}\)
    4. \(\frac{2}{3}x -\frac{2}{5}=1,\overline{35}\)
    5. \(\frac{1}{9}x+ 0,\overline{6}= 1,28\)
    6. \(\frac{1}{2}x +0,6= 1,2\overline{3}\)
    7. \(2,\overline{231}x+ 1,2\overline{43}x= \frac{2}{5}\)
    8. \(1,35x+ 0,423= 0,\overline{2}\)
    9. \(\frac{1}{2}x-\frac{1}{7}= \frac{5}{3}\)
    10. \(2,\overline{5}x+\frac{1}{3}= \frac{1}{4}\)
    11. \(\frac{2}{3}x -\frac{2}{5}=1,2\overline{35}\)
    12. \(2x+ 0,\overline{6}= 1,2\overline{8}\)
    13. \(0,\overline{6}x \frac{1}{2}= 1,2\overline{3}\)
    14. \(2-\frac{3x}{4}=\frac{3}{2}x+ \frac{5}{6}\)
    15. \(\frac{7}{8}+\frac{x}{5} -1= \frac{5x}{4}-\frac{3}{10}\)

  8. Problema de Planteo

    Pista

    Recuerde establecer con claridad las variables y las unidades de medida.

    1. El kilo de asado cuesta $5500. Si compro 800grs de asado ¿cuánto pago?

    2. Por la compra de un televisor en $130000 se ha pagado \(\frac{1}{4}\) al contado y el resto en 6 cuotas de igual valor. ¿Cuál será el valor de cada cuota?

    3. Un frasco de jugo tiene una capacidad de 3/8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio de jugo?.

    4. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.

      ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

    5. Un alumno tiene ocho (8) notas durante un semestre, el solo se acuerda de 7 de ellas, pero sabe que su promedio simple fue 4,7; podrías averiguar cual es la nota que le falta, si las que recuerda son: 2,1; 6,9; 5,7; 6,3; 2,9; 3,6 y 4,8.

    6. Los \(\frac{3}{5}\) de un grupo de personas tienen más de 30 años. Las \(\frac{3}{4}\) partes del resto tiene entre 15 y 30 años (inclusive). Si el número de personas menores de 15 años son 6 personas. ¿Cuántas personas forman el grupo?.

    7. En las elecciones para presidente del colegio, 3/11 de los votos fueron para el candidato A, 3/10 para el candidato B, 5/14 para el candidato C y el resto para el candidato D. El total de votos fue de 15.400 estudiantes. Calcular:

      1. El número de votos obtenidos por cada candidato.

      2. El número de abstenciones, sabiendo que el número total de votantes representa 7/8 del número total de estudiantes del colegio.

    8. Un frasco tiene 30 pastillas y se tiene que tomar 1.75 diaria, para cuantos días nos alcanzan estas pastillas.

    9. Un estanque tiene ocupadas sus tres octavas partes con agua. Si agregándole 500 litros el agua ocupa hasta la mitad del estanque, ¿cuál es su capacidad?

    10. Un partido de fútbol se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del partido resta cuando han transcurrido 15 minutos del segundo tiempo?

    11. Durante una semana, contando el número de asistentes a la función de un cine, se obtuvieron los siguientes datos: el lunes 338 personas, el martes 352 y el miércoles 300. El jueves se ocuparon \(\frac{4}{9}\text{,}\) del total de las asientos disponibles; el viernes \(\frac{5}{12}\text{;}\) el sábado y el domingo asistieron 260 personas que equivalen a \(\frac{13}{18}\) del total. Calcula el número de espectadores del jueves y viernes.